現在又發現了更「高階」的網絡同步，惠更斯於1665年首次發現

2020-08-10 博科園

由倫敦瑪麗女王大學領導的一項研究，首次提出了一種新穎的「高階」Kuramoto模型，該模型將拓撲與動力系統相結合，並表徵了高階網絡中的同步。就像沒有指揮家的管弦樂隊在時間上演奏一樣，複雜系統的元素可以自然地相互同步。這種被稱為同步的集體現象發生在整個自然界，從大腦中一起放電的神經元到在黑暗中一致閃爍的螢火蟲。

Kuramoto模型用於研究複雜系統中觀測到的同步，複雜系統通常由網絡數學表示，其中系統中的組件表示為節點，節點之間的連結表示它們之間的交互。大多數關於同步的研究都集中在網絡上，在網絡中，節點託管動態振蕩器，這些振蕩器的行為類似於時鐘，並沿著網絡的鏈路與鄰居耦合。然而，絕大多數複雜系統具有比網絡更豐富的結構，並且包括發生在兩個以上節點之間「更高階」的相互作用。

這些高階網絡被稱為單純復形，離散拓撲學的數學家們對其進行了廣泛研究。現在，由倫敦瑪麗女王大學應用數學教授Ginestra Bianconi教授領導的研究，提出了一個新穎的「高階」Kuramoto模型，該模型將拓撲與動力系統相結合，首次表徵了高階網絡中的同步。研究發現，高階同步是突然發生的，以一種「爆炸性」的方式發生，這與標準的倉本模型不同，標準的倉本模型是逐漸發生同步的。

數學家克裡斯蒂安·惠更斯在1665年首次發現了同步現象，當時他觀察到懸掛在同一根木樑上的兩個擺鐘彼此在時間上擺動。然而，直到1974年，日本物理學家倉本義樹(Yoshiki Kuramoto)才提出了一個簡單的數學模型來描述這種集體現象。Kuramoto模型捕捉到了一個大型網絡中的同步，在這個網絡中，每個節點都擁有一個類似時鐘的振蕩器，該振蕩器與相鄰節點上的其他振蕩器相耦合。

在節點之間沒有鏈路的情況下，每個振蕩器遵循其自身的動態，並且不受其鄰居的影響。然而，當相鄰節點之間的相互作用切換到給定值以上時，振蕩器開始以相同的頻率跳動。雖然Kuramoto模型描述了與單純複合體中網絡節點相關聯的動態同步，但是網絡中的高階對象(例如鏈路或三角形)也可以表現出動態或諸如通量的「拓撲」信號。在這項新研究中，研究人員提出了一個高階的Kuramoto模型，該模型可以描述這些拓撲信號的同步。

由於可以在大腦和生物運輸網絡中發現諸如通量之類的拓撲信號，研究人員認為，這個新模型可能會揭示以前沒有注意到的更高階同步。該研究的主要作者比安科尼教授說：研究將拓撲學的一個重要分支——霍奇理論與動力系統理論相結合，以闡明高階同步。利用理論框架，可以處理與連接相關的拓撲動態信號同步，如通量，或者與三角形或高階網絡的其他高階構件同步。這些信號可以進行同步，但如果沒有執行正確的拓撲變換，這種同步可能會被忽略。

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新研究提出相當於拓撲信號的傅立葉變換，可以揭示這一點。研究發現的不連續轉變還表明，同步現象不僅是自發的，而且是突然出現的，揭示了拓撲是如何在同步轉變開始時引起動力學的劇烈變化。

博科園｜研究/來自：倫敦瑪麗女王大學

研究發表期刊《物理評論快報》

DOI: 10.1103/PhysRevLett.124.218301

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