完全幻方 與 超立方體

2021-01-18 數學教學研究

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下面這個幻方叫作完全幻方，因為是四階幻方，所以它的幻和當然等於34。


把這個完全幻方與超立方體對應起來，很有意思。超立方體共有24個面，每個面的四個頂點上的數字之和都等於34，等於上面幻方的幻和。請您試著在下面的超立方體中找到這24個面，並把每個面上四個頂點上的數字相加，看一看是不是等於34。再與上面的四階完全幻方相對照。很有意思。提示：大正方體有6個面，比如（1,8,13,12）是一個。小正方體有6個面，比如（4,14,11,5）是一個。還有12個面，比如（1,14,4,15）；（8,11,2,13）；（3,16,9,6）。



34是兩個17相加，而17是這個超立方體對極上兩個數字之和，比如15+2；8+9。共有8對對極，相信您能夠找到它們。也請您在完全幻方中找到與每組對極對應的那對數字。有了對極，幻方中又會增加許多組幻和。主對角線上四個數字之和等於34隻是其中一組。


請您嘗試把上面的幻方捲起來，成一個圓柱。再把圓柱兩頭對接，成為一個圓環。那麼，環面上任何「田」字形中四個數字之和都等於幻和（只能找到16個」田「字形，分別對應於超立方體的16個面），任何「環「形中四個數字之和也等於幻和（共有8個」環「形，橫4縱4，分別對應於超立方體的8個面）。


超立方體轉一轉，或者說您換個角度看這個超立方體，那麼，對應的完全幻方可以重新寫一個。在鏡子中看這個超立方體又可以對應出新的完全幻方。一共有384種不同的完全幻方。



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  • 讓你親眼看到四維超立方體,糾正你對四維空間的誤解
    我們通過想像製造一個四維超級立方體來理解四維空間。現在你拿出一張紙，在紙上畫一個點，這個點就是零維的。接著在這個點上畫一條直線，這條直線就是一維的，就是我們常見的數軸。然後垂直於這條直線再畫一條直線，這就是平面直角坐標系，它就是二維的。最後添加一條假想的垂直於這兩條直線的虛線，就是我們的直角坐標系。
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