按：或許你在人生最後一次數學考試結束之後就再也沒仔細想過和數學有關的問題了，雖然每日仍不可避免與房租、電費、飯錢這些具體的數字和加減法打交道。數字連接著我們與過去——在歷史上，當人群開始定居之後，數字在人類社會的早期被發明出來，因而成為人類最早文化成就的一部分；數字也連接著我們與未來，畢竟今天這個時代已經被定義為所謂「數字時代」。
既然如此，你是否想過這樣一個問題：數真的是人類的創造嗎？還是一種客觀存在呢？我們對數學定律和性質的探尋，是否與物理學家對基本粒子性質的探索並沒有兩樣？既然數學定理是邏輯推理的必然結果，與我們是否相信毫無關係，而且在其被寫成公式並被證明之前就已是存在而且正確的，那麼是否存在一個「形而上」的數字王國？即便人類生存的世界明天就要毀滅，這個不以人的意志為轉移的數字王國是否將永恆存在？
這一關於數字本質的哲學之辯始終在進行著——一派認為數字是一種獨立於精神的客觀存在，一派認為認為數字因為人類的創造而產生，存在於人類的思想之內。從柏拉圖到羅素和哈代，再到十年前歐美數學界對數學本質和「柏拉圖主義」的激辯，關於數學的思考的推進實際上也是一次關於人類思維的再認識。
哲學家、邏輯學家和數學家曾經嘗試給數學的大廈建立合適的基礎，這導致了20世紀初的「數學基礎危機」，三大派別——邏輯主義學派、形式主義學派以及直覺主義學派——試圖在哲學領域為數學尋找基礎和意義，但都遭遇了意料之外的種種困難。所以，數到底是發明還是發現，這個問題在今天依然對所有人開放。
當然，也有很多數學家認為，關於他們學科基礎的思索是「浪費時間」，在應用於解決具體問題時，數學的成功幸運地不依賴於哲學立場。美國數學家巴裡·馬祖爾對於自己的研究工作有著這樣美妙精彩、激動人心的描述：「當我工作的時候，我有時有一種感覺——也許是幻覺——我注目於結構或數學對象純粹柏拉圖主義的美麗；另外的有些時候，我是一個快樂的康德主義者，驚奇於直覺之構造亞里斯多德所謂「對象的形式條件」的強大能力；而有的時候，我似乎跨坐於這兩個陣營之間。我覺得，這種體驗帶來的張力，令人眩暈的想像，直覺的跳躍，『看見』契合於某個概念王國的實體所導致的窒息感，以及我對所有這些懷有的激情，正是使得數學對我來說如此超級重要的原因。」
數學世界的寶藏無窮盡，或許真的可以一直挖掘到人類世界毀滅的那一天。到那時，數還在嗎？
《數字與哲學》
（節選自《心中有數》）
文 | [美]阿爾弗雷德·S.波薩門蒂 譯 | 吳朝陽
1、數，是發現還是發明？
數千年以來，許許多多的研究都牽涉到數，而數字本身也是人們研究的焦點。數學家們發展並細化了人類對數的認識，積累了關於數字及其應用的巨量知識，很多領域裡產生了針對各種目的的運用數字的精緻方法。除了自然數之外，數學家們引入了多種新的數字類型，例如負數、有理數、實數和複數。並且，他們自然也一直思考著數的本質問題，也就是「數到底是什麼」，以及「為什麼數字在宇宙中扮演著如此重要的角色」等問題。
數的概念反映了世界的一些基本性質，特別的一點，是將對象組織成可以相互區別的元素集合的可能性。進化給人類和其他物種帶來了原始的數字感，使人類對小的數目有準確的感知，並對大的數目有近似的感受。對任意集合的計數需要這些方面的綜合，因此需要只有智人才具備的智慧。而當人群開始定居之後，數字在人類社會的早期被發明出來，因而成為人類最早文化成就的一部分。因此，數字看起來似乎是人類的發明，是人類智力的工具，人類用它建立起對世界諸方面恰當而實用的、智慧的表達方式。簡單化與信息減約的過程導致了數字概念的抽象化，這似乎更是一種智力結構，一種有助於經濟地組織思維過程的人腦功能。
然而，對數字以及其他數學對象，數學家往往有他們自己的看法。當數學家們研究得非常深入的時候，他們覺得，數字和數學對象等實體不只是人類的創造，而是更為客觀的存在。他們相信，數是被發現而不是被發明出來的。對其中定律和性質的探尋，與物理學家對基本粒子性質的探索並沒有兩樣。唯一的區別似乎不過是：基本粒子存在於物質世界之中，而數字以非物質，然而也非心理的方式存在。但是，與基本粒子一樣，數的存在似乎與人類的精神世界無關。物理學家們使用實驗和測量設備，數學家則運用他們的直覺、邏輯思維和抽象推理，以發現未知領域中的美和真理。數學家們從事研究的世界，是一個充滿數學對象和觀念的抽象世界。當他們發現此前未知的關係、模式和結構時，人類就認識了一個新的數學知識領域，也等於是抵達了抽象世界裡一片新的區域。數學家們感覺，這與過去發現地球上人類未曾涉足的區域是一樣的。
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這種觀點無法輕易否定。例如，我們「發現」了「前n個奇數之和等於n的平方」這個結果。根據從給定平方數構建下一個平方數的方式，我們發現這個結果以顯豁的幾何直覺看肯定是正確的。這種對事實的感覺被代數方法所進一步證實，而後者完全不需要藉助於幾何的形象化呈現，數學家們因而普遍同意，這個結果對所有自然數n都是成立的。一旦確認其為事實，人們就會感覺到它所表達的不僅僅是精神上的信服或社會的共識。確實，這個結果是邏輯推理的必然結論，與人類之相信與否或態度如何並沒有關係。
這給予我們這樣一種印象：這種結果表達的是客觀真理，它們在被寫成公式並被證明之前就已是存在而且正確的。因此，人們產生一種觀點，認為「形而上的」數字「王國」是客觀存在的，它與物理的宇宙之間毫不相關。換句話說，即便整個宇宙在明天消失，數字的世界仍然永恆地存在。
以上我們描述了對於數字兩種對立的哲學觀點：一種認為數字獨立於精神，存在於外在的、形而上的世界；另一種則認為數字因為人類的創造而產生，就像對對象集合的分類和排序那樣，是人類用來應對各種事務的設計，存在於人類思想之內。
《心中有數：數字的故事及其中的寶藏》[美]阿爾弗雷德·S.波薩門蒂 [奧]伯恩德·塔勒 著 吳朝陽 譯世界知識出版社 2019-08
2、柏拉圖的觀點
數字、三角形、方程等數學對象獨立存在於「數學的王國」，在物理客體世界之外，同時也在人類的思維之外。這種哲學觀點被稱為「柏拉圖主義」，因古希臘哲學家柏拉圖（前428/427—前348/347）而得名。在他的「理型論」中，柏拉圖聲稱思想觀念比物質客體具有更為本質的真實性。思想觀念，或者「理型」，是非物質的和抽象的，存在於形而上的觀念世界。通過我們的感覺所理解的物質客體，只不過是其理型的投影或實例，理型才是真正的本質。人類就像是穴居人，背靠著洞穴的門口，只能觀察到外部現實世界在其眼前牆面上的投影。因此，真實的內涵只能通過對理念的研究才能夠得到。人類的感覺無法直接認識到理型，但通過推理則可以。
直到20世紀以前，這確實是人們關於數字本質的共識。數學家們認為數字是抽象思維的非物質「王國」中的「真實」對象，獨立於人類而存在。現代數學家通常不會那麼極端地宣稱物質世界是不真實的，但很多仍然支持柏拉圖數學對象真實性的觀點。例如，法國數學家夏爾·埃爾米特（1822—1901）說：「我相信數字和解析方程不是我們思想的隨意性結果，我認為它們存在於我們之外，具有與客觀真實事物同樣的必然性。我們遇到它們、發現它們、研究它們，這與物理學家、化學家以及動物學家並沒有兩樣。」
還有一次，埃爾米特寫道：「如果我沒有搞錯，那麼存在著一整個世界，它由所有的數學真理構成，但我們只能通過思想來接觸到它們。就如物理世界是真實存在的，兩者相似，都獨立於我們之外，都由道而生。」
著名英國數學家哈代（1877—1947）寫過一本名為《一個數學家的道歉》的書，他在書中夫子自道：「我相信數學真實存在於我們之外，我們的功能是發現和觀察它。我們大言不慚地把我們證明的定理稱為我們的『創造』，其實那只不過是我們對觀察思考的記錄。」
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3、進行中的討論
在2007年，英國數學家布賴恩·戴維斯（1944—）發表了一篇名為《終結柏拉圖主義》的文章，再次引發了關於數學本質的討論。戴維斯指出，抽象數學世界獨立存在的信念暗中對人腦功能制定了假設。柏拉圖主義者似乎認為，人類大腦能夠產生與柏拉圖王國的聯繫，因而超越空間和時間的限制，延伸入抽象的宇宙。對戴維斯來說，這種觀點「相比之下更接近於神秘宗教，而不是符合於現代科學」。他指出，對人腦產生數學的機理之科學研究顯示，數學的思想過程具有純粹的生理基礎，而這些研究「與柏拉圖主義毫無關係。柏拉圖主義的主要功能是給相信者以安全的感覺，另一功能則是為數以百計的哲學家提供工作機會，使他們徒勞地嘗試調和它與我們對世界的所有認知。現在我們應該認識到，數學與人類所有其他同樣重要的智力技能並無類型上的不同，從而拋棄柏拉圖主義這一古代宗教的最後殘餘」。
到2008年，美國數學家魯本·赫爾斯（1927—）和巴裡·馬祖爾（1937—）發表了兩篇回應文章，進一步推動了這個討論。在他們看來，數學是人類的、依賴於文化的追求，但這一事實與數學對象的真實性問題無關。因此，即便進化為人類提供了對數字的原始理解，甚至數字在我們腦海裡的映像確實依賴於社會學的因素，數字依然可以具有獨立存在性。馬祖爾博士給出了以下的例子：如果我們對數字不感興趣，但在「寫作關於大峽谷的描述時，如果一個納瓦霍人、一個愛爾蘭人和一個祅教徒被安排各自寫下他們的描述，那麼，這些描述肯定深受他們各自文化背景的影響，甚至還依賴於這三個人的情緒、教育以及語言」。但是，這並不會「損害我們對大峽谷存在性的堅定信念」。
根據魯本·赫爾斯的觀點，柏拉圖主義「表達了關於數學的正確認識，數學事實與數學實體是存在的，它們不服從於數學家個人的意志和奇想，卻將客觀事實與實體強加到數學家的腦子裡」。但是，依他的看法，「柏拉圖主義的謬誤之處在於它對這種客觀真實的錯誤解釋，將它放置於人類文化與知覺之外。正如其他許多文化真實，從任何個體的觀察角度看，它們是外在的和客觀的；但從社會或文化的整體角度看，又是內在的、歷史的、受到社會制約的」。
4、數學的哲學
20世紀初，哲學家、邏輯學家和數學家曾經嘗試給數學的大廈建立合適的基礎，這導致了所謂的「數學基礎危機」。由此，湧現出若干學術團體，相互激烈攻訐，相互間對正確途徑的觀點差異極大。在20世紀的上半葉，最有影響的三個派別被稱為邏輯主義學派、形式主義學派以及直覺主義學派。由於數字是數學的基本要素，不同的哲學派別關於數字的觀念也各執己見。
例如，邏輯主義學派最著名的成員是德國數學家戈特洛布·弗雷格（1848—1925)）和英國數學家伯特蘭·羅素（1872—1970），他們試圖將所有數學都建立在邏輯的基礎之上。特別地，他們相信，應該以集合論的基本實體來確定數字，而算術則應該由第一邏輯原理推導而來。這是一個重要的目標，因為所有傳統的純數學，事實上都可以從自然數的性質以及純粹的邏輯命題推導出來。這種思想早在德國數學家裡查德·戴德金（1831—1916）的著作中就已出現，他在1889年寫道，「我覺得，數的概念完全獨立於關於時間和空間的直覺和觀念……我寧願認為它是純粹的思想法則的直接產物。」羅素在1903年寫道：邏輯主義的目標是「證明所有純數學僅僅處理由極少數基本邏輯概念定義的概念，它的所有命題都可以由極少數的基本邏輯原理導出」。邏輯主義的計劃是將數字觀念還原為基於純邏輯的基本概念，以「建立整個序數理論，將其作為邏輯學的特殊分支」。以這種方式，羅素希望能夠賦予數字概念以明確的意義。
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另一方面，形式主義學派並不試圖給數學對象賦予任何意義。這個學派最主要的提倡者是德國數學家大衛·希爾伯特（1862—1943），在這個學派的解決途徑中，被直接認定為正確的命題稱為「公理」，其目標是使用少數公理來定義數學理論，從這些公理出發，由邏輯推理規則推導出數學定理。形式主義學派對數字的本質，或數字是否有意義的問題毫無興趣；他們只是關心數字的形式化性質，即支配它們關係的規則，任何遵循這些規則的對象之集合都可以被當作數來看待。最能表達形式主義學派觀點的是歸於希爾伯特名下的一段著名言論：「數學是一種符號遊戲，其遊戲規則簡單，而符號毫無意義。」
直覺主義學派發端於布勞威爾（1881—1966），這個學派是非柏拉圖主義的，因為其哲學以「數學是人類大腦的創造」這一觀念為基礎。由於數學陳述是思維建構，陳述的正確性歸根到底是由數學家的直覺所認定的主觀斷言，數學的形式化只不過是人們交流的工具。「排中律」是傳統邏輯的一條基本規律，它規定：一個命題要麼是正確的，要麼是不正確的。直覺主義否認排中律的正確性，因而大大地偏離了經典數學和其他哲學流派。對於什麼樣的證明可以被接受的問題，直覺主義顯得尤其特別。對直覺主義者而言，一個數學對象，比如一個方程的解，只有在可以被明確地構造出來時，其存在性才會被認可。這是與經典數學相牴觸的，在經典數學中，如果數學對象不存在的假設可以推導出矛盾，則該對象的存在性就得到證明。換句話說，經典數學可以用反證法來作存在性證明，而直覺主義則要求使用明確的構造性證明。然而，最主要的區別更在於直覺主義者對待「無窮」的態度。對於直覺主義學派，關於有限數的算術通常仍然是正確的，在這方面它與經典數學有很多共同之處。
邏輯主義、形式主義以及直覺主義，都對數學的基礎做出了有益的貢獻，但它們也都遭遇意料之外的技術性困難，這些困難最終使得它們全都無法完全達到其預設的目標。
5、大結局
哲學問題通常都找不到普遍贊同的答案，同樣，數到底是發現的還是發明的這個問題，也沒有明確多數的數學家贊同某一種回答，對這個問題將來有可能一直都會存在多種觀點和解答方式。
但對多數數學家來說，上述問題對他們具體的數學實踐並沒有什麼影響，有些數學家甚至對哲學是否有用都持懷疑的態度。史蒂芬·溫伯格（1933—）是一位獲得過諾貝爾物理學獎的美國物理學家，在其1994年出版的《終極理論之夢》一書中，有一章的標題是「反對哲學」。他寫道，「關於工作方式或工作目標」，我們不應該指望哲學「對今天的科學家提供任何有用的指導」。確實，任何嚴格的哲學立場都有可能妨礙自由的與不存偏見的思考，並因而阻礙人類的進步。例如，如果我們恪守終極有限主義的立場，那麼我們就自己放棄了絕大部分的數學，其中包括許多具有極為重要的現實應用的數學分支。
《心中有數》英文版封面
因此，很多數學家認為，關於他們學科基礎的思索是「浪費時間」。2013年，在題為《數學需要哲學嗎？》的論文注釋中，英國哲學家託馬斯·福斯特（1948—）寫道：「很不幸，數學哲學所傳達的大多數東西並不來自數學的實踐，事實上我甚至相信，哲學系中所有數學哲學的活動幾乎全部都是時間的浪費，至少從工作著的數學家的角度看來就是如此。」
在應用於解決具體問題時，數學的成功幸運地不依賴於哲學立場。即便兩個數學家在數學基礎方面有不一致的看法，他們通常對具體計算的結果都不會有不同意見。無論我們是否相信數字是獨立的存在，像「5+3=8」這樣的陳述在多數情形下都是正確而有用的，關鍵在於存在一個允許我們解決具體問題的數學框架。一種相當普遍的立場是：只要數學模型的應用是成功的，就沒有必要思考其哲學解釋。這種立場稱為「只做不說」立場。這種表達源自美國物理學家大衛·莫明（1935—），當量子力學的解釋出現哲學問題時，他用這個詞組來描述物理學家們對該問題的共同態度。
據魯本·赫爾斯所說，多數數學家似乎在柏拉圖主義與形式主義的觀點之間搖擺不定。這兩種立場非常不相容，因而我們可以發現，哲學並不是典型數學家的主要關注點。另一方面，正如巴裡·馬祖爾所說，短短幾個語句，勢必無法「完全而誠實地表達數學對事物鮮活的描繪」。關於其哲學立場以及研究數學的動機之間的複雜感受，馬祖爾有過如下的敘述：
當我工作的時候，我有時有一種感覺——也許是幻覺——我注目於結構或數學對象純粹柏拉圖主義的美麗；另外的有些時候，我是一個快樂的康德主義者，驚奇於直覺之構造亞里斯多德所謂「對象的形式條件」的強大能力；而有的時候，我似乎跨坐於這兩個陣營之間。我覺得，這種體驗帶來的張力，令人眩暈的想像，直覺的跳躍，「看見」契合於某個概念王國的實體所導致的窒息感，以及我對所有這些懷有的激情，正是使得數學對我來說如此超級重要的原因。當然，這個王國可能只是幻覺，但是體驗呢？
書摘部分節選自《心中有數》一書第11章，較原文有刪節，經出版社授權發布。