【角平分線兩大定理】
角平分線定理一：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。
角平分線定理一角平分線定理二：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。
角平分線定理二
角平分線定理二證明思路第一個定理是大家非常熟悉的，也是課本上列出的定理，可以直接應用在所有題型裡。第二個定理在課本上沒有明確提出，所以在解答題裡要使用這個結論必須自己附加寫一下證明過程，但是選擇題和填空題裡就可以直接使用了。有時候，直接利用這個結論能夠秒殺一些所謂的難題、壓軸題。
【中考真題】
2017年遵義選擇題此題如果直接應用角平分線第二定理，可以達到「秒殺」的效果。因為AB:AC=11:15，所以BD:DC=11:15，設待定係數為t，則BD長度為11t，DC為15t。再設DE=x，由於E是中點，所以BE=EC，即BD+DE=EC, 那麼11t+x=(11t + 15t) / 2=13t，計算得到x=2t，即DE=2t，再計算CE=DC-DE=15t-2t=13t。因為EF//AD，所以得到比例等式：FC:AC=CE:CD，那麼FC:15=13t:15t，所以FC=13，選C。
試想，如果本題不直接利用三角形角平分線定理二，就真的比較麻煩了，需要通過中點倍長中線，然後轉換，通過三角形全等和相似去計算。有興趣的同學可以試下這種常規的思路。由於本文重點不是介紹常規思路，所以此處忽略。
兩種思路一比較，基本上直接利用角平分線定理需要1分鐘，而常規思路在順利的情況下，也至少得4-5分鐘。可見，在中考考場上，有時候直接利用一些書本上沒有明確寫出的定理結論，對於解題是何等的重要！
讓我們再來看一道深圳2019年的選擇壓軸題。
2019年深圳選擇題此題前面2個結論非常容易證明。利用SAS可以證明第1個結論正確。利用第1個結論知道EC=CF，然後利用兩等角夾一個公共角，很容易證明∠ECF=60，所以△CEF為正三角形。第三個結論稍微有點麻煩，不過稍微換一下即可。∠AGE=∠CAF+∠AFE=60 + ∠AFE，∠BEC=∠EAC+∠ACE=60 +∠AFE，問題轉換為求證∠AFE是否等於∠ACE。在△AGF和△CEG中，有一個對頂角，而∠FAG=∠CEF=60 （△CEF為正三角形，第2個結論已經證明）。所以∠AFE=∠ACE成立，因此第3個結論也正確。
這裡，要重點介紹是剩下的第4個結論是否正確。
一是秒殺思路。因為是菱形，所以∠FAC=∠BAC，那麼AG即是∠FAB的角平分線，根據角平分線定理二，得到EG:FG=AE:AF=(AB-BE):AF=(AB-AF):AF=(4-1):1=3:1，所以EG=3FG，結論4也正確。真正的「秒殺」！
二是常規思路。因為∠B=∠BAC，結合第3個結論∠AGE=∠BEG，所以△AGE∽△BCE（AAA），然後有比例關係EG:EC=AE:BC，（EF-EG）:EC=3:4，經計算得到GF:EC=1:4，即GF:EF=1:4，所以EG=3FG。
比較一下兩種思路，足見直接利用角平分線定理二的優勢是何等的巨大，而常規思路無疑需要靈活的轉換，如果沒有快速順利的想到去證明△AGE∽△BCE，那麼將陷入恐慌。畢竟，題目要求EG和FG的比例，而想到利用△AGE並不是一件容易的事情。
【結論】
角平分線有兩大定理，熟記他們的結論，直接應用在考試中，尤其是第二個關於比例的定理結論，有時候能起到事半功倍的良好效果。學霸之所以成為學霸，就是記住了這些別人沒有記住的結論，而這些結論是書本上沒有的，但它在實戰中卻是克敵制勝的尚方寶劍。
口訣：角平分線倆定理，第二定理要熟記。
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