對初中生來說，「軌跡」是一個比較抽象的問題，但在高中數學中的學習是非常有用的，也是非常重要的．在研究動點問題時，可以在運動中尋找不變的量，即不變的數量關係或位置關係．如果動點的軌跡是一條線段，那麼其中不變的量便是該動點到某條直線的距離始終保持不變；如果動點的軌跡是一段圓弧，那麼其中不變的量便是該動點到某個定點的距離始終保持不變．因此，解決此類動點軌跡問題便可轉化為尋找變量與不變的關係．
六種常用的基本軌跡：
符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡．
①到已知線段的兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．
②到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線．
③到已知直線的距離等於定長的點的軌跡是與這條直線平行，且與已知直線的距離等於定長的兩條直線．
④到兩條平行線距離相等的點的軌跡是和這兩條平行線平行且到這兩條平行線距離相等的一條直線．
⑤到定點的距離等於定長的點軌跡是與定點為圓心，定長為半徑的圓．
⑥和已知線段的兩個端點的連線的夾角等於已知角的點的軌跡是以已知線段為弦，所含圓周角等於已知角的兩段弧(端點除外)．
類型1 直線型
常考有（1）平面內到定直線的距離等於定長的點的軌跡是直線（線段）；（2）平面內與兩直線的夾角為定角的點的軌跡是直線（線段）
1．（2017東西湖區模擬）如圖，Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，P、Q分別是OB、OA上的動點，滿足BP=OQ，C為PQ中點，當Q從O點運動到點A點時，則C點所走過的路徑長為________．
【分析】如圖，當點Q與O重合，點P與B重合，此時點C與OB的中點E重合，當點Q與A重合時，點P在點M處，BM=OA=6，此時點C在AM的中點F處，由此可知點C的運動軌跡是線段FE（紅線），在BO上截取BN=OM=2，則ME=EN，AF=FM，則EF=1/2AN，求出AN即可解決問題．
【解答】如圖，當點Q與O重合，點P與B重合，此時點C與OB的中點E重合，當點Q與A重合時，點P在點M處，BM=OA=6，此時點C在AM的中點F處，由此可知點C的運動軌跡是線段FE（紅線），
在BO上截取BN=OM=2，則ME=EN，AF=FM，
∴EF=1/2AN，
2．（2018春鎮江期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=9，AD=12，點E、F分別是AB、AD的中點，點H是線段EF上的一個動點，連接CH，點P是線段CH的中點，當點H從點E沿著EF向終點F運動的過程中，點P移動的路徑長為______．
【分析】如圖所示，當點H與點E重合時，中點P的位置為P1，當點H與點F重合時，中點P的位置為P2，點P運動的路徑即為P1P2的長度．要求得P1P2的長度，即要求出EF的長度，EF的長度可以根據勾股定理求出．
【解答】如圖所示，當點H與點E重合時，中點P的位置為P1，當點H與點F重合時，中點P的位置為P2，點P運動的路徑即為P1P2的長度，
類型2 圓弧型
常考的有（1）平面內到一定點的距離為定長的點的軌跡是圓（圓弧）；（2）平面內與兩定點的張角（定弦定角必有圓）是定角的點的軌跡是圓。
3．（2017春武昌區月考）已知⊙O，AB是直徑，AB=4，弦CD⊥AB且過OB的中點，P是劣弧BC上一動點，DF垂直AP於F，則P從C運動到B的過程中，F運動的路徑長度（ ）
【分析】作DQ⊥AC於Q，如圖，當P點在C點時，F點與Q重合；當P點在B點時，F點與E點重合，利用圓周角定理的推論判斷點F在以AD為直徑的圓上，則點F運動的路徑為弧QE，再計算MQ的長度和∠QME的度數，然後根據弧長公式計算F運動的路徑長度．
【解答】作DQ⊥AC於Q，如圖，
當P點在C點時，F點與Q重合；當P點在B點時，F點與E點重合，
∵∠AFD=90°，
∴點F在以AD為直徑的圓上，
∴點F運動的路徑為弧QE，
∵弦CD⊥AB且過OB的中點，
4．（2018鳳翔縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，點D是邊BC上的一動點，連接AD，作CE⊥AD於點E，連接BE，則BE的最小值為________．
【分析】先確定點E的運動路徑：點E在以AC為直徑的圓上，則當O、E、B共線時，BE的長最小，根據勾股定理可得結論．
【解答】∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，
∴點E在以AC為直徑的圓上，
取AC的中點O，以AC為直徑作⊙O，當O、E、B共線時，BE的長最小，
Rt△OCB中，OC=OE=6，BC=5，
對於變化萬千的題目，如何抓住本質？一般來說，初中階段的題還是以定角為背景，我們可以一分為二來看．若邊不變，則「定邊對定角」，三角形外接圓是不變的，在這不變中，我們可以求定值，如弦長，運動的軌跡長．也可以尋找其中變化的量，來求線段的最值．若邊在變化，則「動邊對定角」，三角形外接圓處在變化中，我們要找其中的不變量或者變量之間的不等關係來建立不等式，從而求出最值．在本文中利用軌跡的方法解釋了線段最大值是如何求，如何可使手臂在視覺上長度最長？當手掌，肘關節，肩關節三點一線的時候．那麼到了具體題目中，找到「肘關節」就是其中的關鍵，而本文中的幾例，運用到了直角三角形斜邊的中點，我想，這也許就是許多題目 「秒殺」的「命門」吧！
變式練習1．（2018白雲區二模）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB+∠PBA=90°，則線段CP長的最小值為______．
2．（2018石家莊二模）如圖，BC=6，點A為平面上一動點，且∠BAC=60°，點O為△ABC的外心，分別以AB、AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE、CD交於點P，則OP的最小值是______