高等數學是非數學系學生必學基礎課，而數學系的高等代數、數學分析等就更加複雜了，但是它們都有一個共同點，就是都要求會微積分。微積分作為高等數學裡面最基本的要求，如果沒學好，一切搞科研都是白費，連資格都沒有。
對於一般非數學專業的人，掌握微積分，也對自己日後工作有很大幫助。雖然上過個大學的人多如牛毛，但是畢業後還會運用微積分的卻少之又少，這是為什麼呢？一是沒有使用環境，二是上學時候只為考六十分，而不求甚解。
昨日之日不可追，俱已往矣；明日之日不可待，期則怠也！因此，大家給自己一個今日，讓自己學會微積分，學會更多值得學習的東西！本人最近看了一個微積分本質的視頻，雖然說無法達到視頻所說的可以自己創造微積分的程度，但是分享給大家，讓大家很快上手了解微積分，還是可以的。
個人認為，微積分的本質及核心思想就八個字：「以直代曲，無限逼近」。大概的意思就是：彎彎曲曲不規則的東西，我們是很難去量化計算的，但是把它化為簡單的東西，那麼量化計算就很簡單。只要一條線足夠小，我們都可以認為無數條線可以組成任何東西，雖然可能不是完美等價，但是0.999……（無窮多個9），我們直接用1替代有人有意見嗎？世界本無完美，都只是無限接近。
舉一個例子，我們都知道圓的面積計算是πr^2，但是是怎麼得來的，可能就不是很多人知道了。雖然以前很多人研究了很多種方法求算，但其本質是一樣的，都是使用無限逼近再求和。所以，我們就隨意選擇一其中樣了，還是用視頻裡面的方法吧，懶得自己作圖。
我們畫一個半徑為R的圓，然後分成很多個等寬但大小不一的圓環，如下圖所示。
也就是說，現在這個圓就是一圈圈等寬圓環組成的圓了。假如我們順著圓的半徑一刀切下，從外邊直切到圓心，然後再從切口這裡將這些圓環一個個掰直，是不是就得到很多條長短不一的準長方形了。為啥說是準長方形呢？你看一下切口就知道，圓環的切口不會和周長邊垂直的，因此等寬圓環拉直後就不是一個「正規」的長方形。但是，我們先不管它，按照長方形去看待，計算它的面積，問題留後面處理。
假設圓環變成長方形後的寬度是dr，它的長度就是2πr了（π的定義就是圓周長和圓直徑的比值），那麼這個圓環變成的長方形面積就是2πr×dr了。
全部圓環被掰直之後，整個圓就變成很多個寬度為dr，長度不等的長方形了，它的面積就相當於這些長方形面積求和。如果說上面圓的半徑r是3，圓環寬度dr為0.1，那麼是不是就是分成了30個圓環（長方形），圓環的長度（長方形長度）分別就是2π×3、2π×2.9、2π×2.8……2π×0.1，這樣圓的面積就相當於這三十個圓環（長方形）面積相加了。但是這樣求和計算，是不是有點累啊，先不著急，我們將這些圓環掰直後的長方形放到平面坐標上，從小到大的順序排列，就可以得到一個準三角形。
是不是很驚喜，我們貌似可以利用三角形求面積法計算了。但如上面所說，這只是個近似長方形，它不是一個「正規」的長方形，偏差還有點大呢，怎麼辦？
我們回歸到微積分的核心思想「「以直代曲，無限逼近」，如果我們把這個圓環的寬度dr分得更細，如0.01，是不是這個就更接近長方形了，我們計算出來的面積偏差就比原來小了。我們將繼續將dr分得更小，趨向無窮小，近似一條線，這時候的是不是可以無限逼近為長方形了？如上面坐標中的準三角形，就變成下面的「正規」三角形了。
這時候dr已經很小了，也就是說我們要劃分為一個巨大數量的長方形之和，這樣我們計算是不是要崩潰？其實不用，這時候我們再看上面的圖形，是不是看起來就是一個三角形了，那麼我們還那麼笨去做龐大的求和嗎，這時候直接用三角形面積計算公式就可以。
三角形面積S=1/2×底長×高=1/2×r×2πr=πr^2，是不是就是我們熟悉的圓形面積計算公式。雖然繞了這麼大一個圈，但是大家至少明白了以前的數學家是怎麼去求圓的面積的，也明白了微積分的最基本概念。
由此可見，微積分中，dr是不僅是待求和中的因子，而且還是一個標量，表示著我們劃分間隔的大小，如上面每個圓環之間的間隔值。很多新手學習微積分，看到它的符號就頭暈，其實就是不了解它的含義。就好比dr，如果你認為它是一個乘數，不懼怕它，那就簡單很多。d就像一把刀，把積分變量r切成很小的一塊數值為dr的項。
再比如一輛車在不同時間內以不同速度行駛，我們怎麼求算它？我們可以將小車行駛時間劃分為很多個相等的時間段dt，每個時間段的速度為V（t），這V（t）中的t就是dt裡面的時間段。所以我們就會得到每個dt時間內小車跑的距離V（t）×dt。
把它每個單位時間段內跑的距離矩形化，是不是又回到求面積的情況上？
看一個用定積分計算小車行走路程的簡單問題，題目如下：一輛小車一分鐘內變速如下圖所示，0~10秒內勻加速前進，10~40秒內勻速前進，40-60秒內勻減速運行至停止，求其一分鐘內運行距離。
通過分析可知道，整個過程雖然小車是變化的，但是我們將它化成三段後，它就變成三段有規律的變化運動了。第一段：0~10秒，小車速度為勻加速運動，V=3t；第二階段，10~40秒，小車勻速運動，V=30m/s（m/s）；第三階段：40~60秒，小車為勻減速運動，V=90-1.5t（m/s），那麼小車距離計算其實就變成加法運算。寫出積分形式如下：S=∫3tdt（t為0~10）+∫30dt（t為10~40）+∫（90-1.5t）dt（t為40~60）=3/2t^2（t為0~10）+30t（t為10~40）+（90t-3/4t^2）（t為40~60）=3/2（10^2-0^2）+30×（40-10）+90×（60-40）-3/4（60^2-40^2）=150+900+1800-1500=1350(m)。
其實明眼的人已經發現，上面其實也可以變成一個計算面積的過程，兩個三角形加中間一個矩形，他們的面積就是小車的行駛距離，因為S=vt。
從這個簡單的計算也可以看出，積分就是化繁為簡的過程，把一切沒有規律的東西轉換為有規律的簡單計算過程，有興趣的大家也可以用積分計算一下上面圓的面積。當然，這些都是比較簡單的例子，還有很多例子不是簡單或者不是一步就可以轉化為面積問題的，可能要多步轉換，甚至要自己多動腦，看如何去轉變，變成簡單可計算的方式。
這就是微積分的本質，你了解了本質，再去學習微積分，鑽研問題，是不是一切突然變得明朗起來。另外，要學好微積分，學習好導數是很重要的事情。微積分和導數之間為互逆關係，用導數去求導函數，是一件很有意思的事情。關於導數的快速學會，我們下次再一起學習吧。