流體動力學NS方程的哲學缺陷

2020-12-15 技術鄰CAE學院

在2014年，我與好幾個學友談論過流體力學中的NS方程。眼下有空，也就把自身近幾年的思考簡述如下。


就NS方程的推導及其所反映的客觀現象而言，NS方程是對流體微元在瞬時意義上變形運動的描述。在流體力學本構方程中的壓力是天外來客，在力學本質上，壓力的空間梯度是微元體慣性力的表徵。然而，在本構方程中，它是被置於變形應力的地位。從而，在哲學上，慣性力（牛頓意義上的）是沒有獨立地位的。這是因為，如果研究穩態流動，則壓力是產生變形力（流速空間梯度）的唯一原因（反之也然）。


微元體本身的絕對慣性速度（整體平移）是對流體應變沒有貢獻的，這個假疵也就由壓力來作為補賞項以各向同性應力的形式而出現了。就最原始的流體力學而言，壓力是由流體的物性及整體平移速度所確定的。而對於漩渦的研究也表明，漩渦的轉速（或是旋度）也是由局部整體的轉動速度所決定的。而這類局部整體轉動在局部效果上等價於局部整體平移，從而也反映為壓力的局部特徵。由於在這個局部意義上的整體是有強烈的局部尺度依賴性質的，所以對流體動力學學而言，尺度性是非常明顯的。

在大尺度上，如果整體的慣性平移被壓力所包容（速度梯度已消除的空間不變速度部分），那麼在此尺度下的局部整體轉動（小渦）就被忽略了。而在方程中的忽略只是表明方程本身的局限性，並不能被看成是正確的（物理上真實的）。因而，總可以通過把尺度變小來把適當尺度的小渦考察進來。得到的好處是應力（或壓力）更接近於局部實測量，但是，由此所付出的代價是在NS方程中不斷的補充新的應力（或壓力）項。方程趨向於無限的複雜化。最後乾脆就是把流體動力學運動看成是一個統計學現象，從而，在哲學上是對其原出發點NS方程的否定。


對於固體變形，整體的平移、轉動對應變沒有貢獻，從而也對應力沒有貢獻。這基本上是把運動中的固體等價於靜止的固體，哲學上認為：整體的平移、轉動對局部變形沒有貢獻。這基本上是可以接受的（近似意義上）。但是，對流體這是明顯的無法接受的。然而，流體力學以引入靜水壓力的方式，在速度梯度為零時保持了應力的存在。這是區別於固體變形力學的。因而，我們可以認為，靜水壓力項在動力學方程上的意義是把整體的平移、轉動的物理效應以間接的方式給強行納入進來。


事實上，理性力學家在1965年前後對於這個問題的看法是：在整個連續介質力學中，以本構方程來區別流體物質和固體物質是形式上協調的，但是在物質定義上是不協調的。間接的認為，流體的本構方程是非理性的。其中，Truesdell則明確的在其專著中表明靜水壓力項的存在是力學理論無法講清的，只能作為一個經驗項被動的接受下來。


在回頭看NS方程的推導，壓力項是以隱含的方式被應力項所隱蓋的，從而其有效性是在迴避壓力的獨立物理意義而取得的，在實質上把流體微元等價於高速運動中的可變形固體微元。在這樣一個哲學意義下也就明確了：連續性方程是一個事後的補充辦法。


因而，我們可以看到這類做法是比較有成績的：把連續性方程看成是一個獨立方程（再本質上是補充一個關於局部整體慣性速度的約束方程），而NS作為變形力學方程。


事實上，如果客觀的看待一百年來的流體力學研究，那麼Truesdell對渦量的研究是要把局部的整體轉動從NS方程中剝離出來，認為它滿足其它的動力學方程（類似於角動量守恆類），而歐拉的流體力學方程基本上就是立足於角動量守恆的考慮。當然，NS方程也可以接近圓滿的表達渦動，但是付出的代價是變尺度的把渦搞成尺度上的分形屬性（嵌套結構）。在多個尺度上重複使用NS方程在力學理論上看是一種變通辦法，也是理論局限性的特徵體現。

另一類比較有效的辦法是先引入一個流矢量函數，既由它來定義流動的整體屬性，也由它來定義流體微元的變形屬性，這樣，與NS方程不同的是，對於流函數，有獨立的物理方程作為控制。目前，此類理論還在發展之中。可以把它概括為：修訂NS方程，至少引入一組關於流動整體屬性的動力學方程。


雖然有關的研究工作沒有明確的說明：光是NS方程不足於描述流體動力學方程（從而NS方程無唯一解，或無解），但是其隱含的理念是如此的。我記得多數的國際流體力學權威期刊 (Fluiddynamics) 接受文章的前提是：無條件接受NS方程，不接受反對NS方程的論文。不知現在是否還是如此。這是造成NS當前絕對主導地位的基本原因，而非是NS本身的威力。


因此，我認為（這也是我在研究中的論題），流體力學未來的進展在於：


  1. 在給定尺度下，整體的平移、轉動雖然對應變沒有貢獻，但是對於流動是有決定性作用的，需要有專門的運動方程來表達；
  2. 壓力的變化應與變形應力區別開來，從而，壓力不應是作為靜水壓力來表徵，而是作為以整體流速、渦度為自變量的二階張量來表徵；
  3. 固體的連續性概念不能簡單的移值到流體中，需要有新的數學表達形式，而這種表達方式更類似於以物理屬性為標準的辦法，而不是以實質性的微元流體來表徵。


總而言之，流體運動的複雜性在於我們無法把固體力學理論（變形力學）以一一對應的方式移值過去，也無法把質點系力學理論（拉氏力學，哈氏力學）以一一對應的方式移值過去，而必須是二者的某種組合。而這種組合又必須是物理學或力學原理所決定的，而不是我們簡單的分解為獨立的兩種運動的疊加（加法的或是乘法的）結構。


我認為，也只有在有了上述的大致結構後，熱力學量（熵，溫度）、化學量（化學反應）、及分子動力學效應（多相，多組分）等才能有比較可靠的理論途徑來進入對複雜流動問題的研究中。


無論如何看待NS方程，流體力學的高難度決定了它是本世紀的熱門研究課題。而把NS作為單一路徑的研究方案註定是令人失望的，而幾乎所有的研究者對修改NS的各類方案都是持懷疑態度的，更不用說形成前赴後續的連續攻關形勢了，而達成共識就是很遙遠的未來的事了。因而，多數力量還將是針對NS方程，但是無非是後人把半個世紀前後的前人所做的全部研究工作再來一遍而已，研究結論本身是不會變的，變的只不過是說法。從科學哲學上看，這是一個以NS方程為中心的邏輯怪圈。

來源：肖建華科學網博客

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