[遇見數學創作小組] 作者無言, 準大四，對世界充滿好奇。
當我見到上帝後，我一定要問他兩個問題——什麼是相對論，什麼是湍流 。我相信他只對第一個問題應該有了答案。——沃納·海森堡
▌引言
1963年，洛倫茲研究氣象系統時發現了被稱為洛倫茲系統的模型，簡單地說，它有著「蝴蝶效應」這一性質，系統對初值擾動異常敏感。（蝴蝶效應即得名洛倫茲吸引子的形狀與洛倫茲：「一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀，可以導致一個月後德克薩斯州的一場龍捲風。」）這也是所有混沌微分方程中最著名的。洛倫茨系統中出現的許多現象後來在許多領域被發現。這種非線性系統區別於線性系統的主要特徵被稱為混沌。
▲ 每條線都代表初值小變動後解的不同軌跡。
實際上，混沌現象在很久以前就被注意並得到了一定研究，本文聚焦於「經典力學的最後未解之謎」——湍流。
大渦用動能哺育小渦，小渦亦哺育子女，直到歸於粘性。——劉易斯·理查森
▌湍流
湍流至今沒有得到準確的定義，一般認為湍流是時間和空間上強烈變化、多尺度的、不規則的複雜非線性流體運動狀態。
▲ 視頻截圖自3Blue1Brown
最早注意到流體運動中湍流現象的是英國科學家雷諾。1883 年，他通過實驗研究發現了液體在流動中存在兩種內部結構完全不同的流態：層流和湍流。體流速較小時，流動是分層的，與周圍流體無宏觀混合。而流速越過臨界值後，各個方向隨機的運動產生了，也就是有序流動中產生了大小不一的漩渦。
1922 年，理查森發現了湍流動能級串過程，即湍流在不同尺度間存在逐級能量傳遞，由大漩渦傳遞給小漩渦。而這一過程被理查森以詩歌般娓娓道來，即文章開頭的引言。
柯爾莫哥洛夫更進一步，提出 K41理論，這一理論認為，能量從大尺度注入，沿著-5/3的直線向小尺度流動，漩渦不斷破碎，分裂，直到在足夠小的尺度轉化為內能耗散。
其中 E(k) 是能量的傅立葉變換，ε 是單位時間內耗散的能量， k 是波數，具體過程如圖。
▌Navier-Stokes 方程
一般認為Navier-Stokes 方程足以描述湍流，這個方程是流體的基本模型之一。
其中 u 代表速度，p 代表壓強。第一個方程來自牛頓第二定律，第二個方程稱為連續性方程，意義是不可壓縮流體是連續的（物質不會憑空產生或消失）。值得注意的是對流項 (u·▽) u ,它代表慣性力，是方程非線性的來源，而粘性項 v △u 代表粘性力，可以說研究 N-S 方程性質就是判斷這兩項的搏鬥誰會贏。物理學家引進了所謂雷諾數來描述速度場，即
根據雷諾數的大小，可以分為兩種可能：
1. 雷諾數很小。這時粘性項佔主導，動能會耗散殆盡，流體流動相當溫和。
2. 雷諾數很大。這時對流項主導，湍流與激波產生，值得注意二維 N-S並不會產生湍流。
現在對N-S方程的研究成果表明，短時內N-S方程的解不會產生湍流，而這一結論是否可以拓展到長時尚不明確（目前想做到這一點需要加條件，這顯然不是物理上能夠讓人滿意的），上個世紀，一批數學家在假設速度場在有限時間爆炸的前提下對爆炸的集合（奇異集）進行刻畫，發現奇異集在一定意義上是相當稀疏的，Mandelbrot 曾經猜測湍流會展現分形性質； 實際上， Scheffer 在表示， 這一定理正是受到 Mandelbrot 關於分形的論文的啟發才證明的。有趣的事發生了，奇異集的豪斯多夫維數不大於5/3恰好與Kolmogorov理論中冪律的冪相同。以及，如果流體的速度場在某個時刻出現了爆破現象， 那麼它的應力張量和渦量也同時會爆破. 於是流體內會出現應力非常大的點， 也會產生越來越不規則的漩渦. 這顯然是湍流的重要特徵。
陶哲軒研究了平均化的N-S 方程，目前的數學工具不足以區分它與真正的N-S 方程，而這個方程即使初值光滑，也會在有限時間爆炸（動能趨向無窮）。只要初值合適， 能量從大小大致為(1+ε0)n(1+ε0)n的漩渦向大小大致為(1+ε0)n1(1+ε0)n1的漩渦傳遞， 傳遞時間大致是(1+ε0)5n/2(1+ε0)5n/2, 而傳遞的比率大致是(1+ε0)5n/2(1+ε0)5n/2。有趣的事又發生了，他以數學角度嚴格重建了柯爾莫哥洛夫的K41理論，這種交會可能會指引我們找到答案。
最後，我想引用[1]中的一段結尾。
物理學一直在啟發著數學， 但對於尚且沒有準備好的數學家來說， 這種啟迪總是很難參透. 自然界的基本規律用無聲的語言向我們訴說， 而我們仍舊需要作出相當的努力去理解它.
"我還有好些事要告訴你們, 但你們尚且不能領會." ——[約翰福音 16:12]
▌後記
對數學方面感興趣的讀者可以學習[2]，從推導直指前沿，本文主要參考[1]，湍流方面的著作有[3]，混沌與動力系統方面[4]是一本優秀易懂的教材。湍流圖像來自視頻 3Blue1Brown 可視化湍流，推薦。