我們大家都學習過數量積，點積
在向量裡，也有對應的"內積"的概念
向量的內積
定義
設α = (a1,a2,...,an)T，β = (b1,b2,...,bn)T
令(α,β) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
稱為向量α和β的內積
性質
(1)（α，β）= （β，α）
(2)（α+β，γ）= （α，γ）+（β，γ）
(3)（kα，β）= k（α，β）
(4)（α，α）>= 0
(5)（α，α）= 0 <=> α = 0
如(α,β) = 0,稱α與β正交
向量α的長度
||α|| = (α，α)開根號 = (a1² + a2² + ... + an²)開根號
柯西-施瓦茨不等式
(α，β)² <= ||α||·||β||
等號若且唯若α β線性相關時成立
定理
若n維向量α1,α2,...,αr是一組兩兩相交的非零向量，則α1,α2,...,αr線性無關
Schmidt正交化
設α1,α2,α3線性無關
令
β1 = α1
β2 = α2 - (α2,β1)/(β1,β1) · β1
β3 = α3 - (α3,β1)/(β1,β1) · β1 - (α3,β2)/(β2,β2) · β2
則β1β2β3兩兩正交
再單位化
γ1 = β1 / ||β1||
γ2 = β2 / ||β2||
γ3 = β3 / ||β3||
正交矩陣
定義：設A是n階矩陣，滿足 A·(A的轉置矩陣) = (A的轉置矩陣)·A = E，稱A為正交矩陣
性質：
1 A是正交矩陣 <=> (A的轉置矩陣) = (A的逆矩陣)
2 A = (α1α2α3)是正交矩陣
<=> α1α2α3都是單位向量，且兩兩正交
3 如A是正交矩陣，則|A| = 1或|A| = -1
4 若A，B都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣
設e1,e2,...,en是向量空間的一個基，如果
(ei,ej) = 1 i=j
(ei,ej) = 0 i≠j
則e1,e2,...,en為規範正交基