作者 David Linkletter
翻譯 loulou
審校 Nothing
來源 公眾號「中科院物理所」
當你計算 6÷2(1+2) 時會得到什麼結果？
可以分享給你的朋友試試看~
它看起來只是個簡單的算術題，但這個問題已經傳遍了社交媒體的每個角落，數百萬人給出了兩個常見的答案：1 和 9。
你可能認為其中一半人是對的，另一半人需要再好好學習算術。雙方的受訪者都信心十足地為自己的答案辯護。關於這個問題還沒有正式的論文或者書籍給出答案，不過越來越多的數學家出面解釋了為什麼會這樣：6÷2(1+2) 不是一個定義明確的表達式。
良定義是數學中的一個重要術語。它本質上意味著某個輸入總是產生相同的輸出。比如，所有數學老師都同意
以及
額外的括號（方括號）消除了歧義，這些表達式定義明確。大多數其他的常見的數學問題，比如
都有明確的定義，有一個正確的答案和一個（或多個）常見的錯誤答案。但是計算算式 6÷2(1+2) 的值是一種習慣問題。答案 1 和 9 都不對：這取決於你從數學老師那裡學到的是什麼。
數值運算的順序由各種四則混合運算法則 PEMDAS、BODMAS、BIDMAS 和 BEDMAS 給出：
P(或B)：先計算括號(方括號)內表達式的值;
E(或O或I)：接下來計算指數(階/指數);
MD(或DM)：下一步進行乘法和除法，從左到右計算;
AS：最後進行加法和減法，從左到右計算
世界各地對四則混合運算法則有兩種稍微不同的解釋，而四則混合運算法則悖論凸顯了它們之間的差異。兩者都同樣流行，目前世界範圍內還沒有公認的標準。因此，你們可以停止在微博朋友圈上的辯論了，放心吧，你們每個人都可能正確地記住了所學到的東西——只是你們所學到的東西不同而已。
站在「9」這一邊的人，傾向於這麼計算：
或者：
這些人認為，任何時候 a(b) 都可以替換成 a×b。可以歸結為：「 a(b) 總是等同於 a×b 」的這一認知決定了四則混合運算法則悖論的答案是 9。
而從「答案1」這一方的陣營看，有些人是這麼計算的：
而另一些人指出按照分配律：
這麼計算的原則是，並列的算式中隱藏乘法優先。這應該在世界各地的數學課堂上教授過了，而且在一些編程中也是一種約定俗成。所以這裡，「 a(b) 總是等同於 (ab) 」這一認知決定了四則混合運算法則悖論的答案是 1。
從數學上講，「 a(b) 總是等同於 a×b 」，並且「 a(b) 總是等同於 (ab) 」，這是矛盾的。因為通過前面的計算，會得出 1 = 9。產生這樣的矛盾是合乎邏輯的，只是說明我們不可能同時擁有兩個答案。它還說明，這兩種解釋都不是四則混合運算法則固有的。它們都附帶了一些微妙的附加規則，這些規則決定了如何處理語法上的奇怪之處，比如 6÷2(1+2) ，因此，如果接受它們中的任何一個，就會得到一個正式的數學結論，也就是說 6÷2(1+2) 沒有得到明確定義。這也是為什麼你們不能以一種令人滿意的方式「糾正」對方：因為你們的方法在邏輯上是不兼容的。
因此，分歧可以歸結為：「 a(b) 總是等同於 a×b ？」，還是「 a(b) 總是等同於 (ab) ？」——兩者無法共存。
在實際操作中，許多數學家和科學家對這個問題的回答是「語法不清楚，需要更多的括號」，並解釋為什麼它是模糊的，這基本上才是正確的答案。上面這張圖片顯示了兩個不同的卡西歐計算器同樣輸入 6÷2(1+2) ，並顯示了兩個不同的答案。雖然「語法錯誤」可能是計算器對這個問題給出的最佳答案，試圖調和歧義也是正常的，這沒什麼大不了的。但是對於我們人類來說，在注意到世界上很多人分別遵循這兩種約定之後，我們不得不得出這樣的結論：6÷2(1+2) 目前還沒有定義好。
事實上，谷歌、Wolfram 和許多計算器的答案都是 9。這裡計算器的答案當然是由他們的輸入程序決定的。顯然，計算器並不是四則混合運算法則悖論的最佳判斷工具。它們只是反映了當前在這個問題上的分歧：計算器程式設計師在很可能意識到了這個確切的問題，並且已經知道它在世界範圍內尚無標準化，所以如果數學老師都統一給出一個答案，那麼這些程式設計師就會跟進。
拿 Wolfram Alpha 來說，它是一個提供答案引擎的網站(類似於搜尋引擎，但它不提供網頁連結，而是提供查詢的問題的答案，尤其是數學查詢)。它對 6÷2(1+2) 查詢結果為 9，對 6÷2x 的查詢結果是 3x，並將 y=1/3x 解釋為穿過原點斜率為 1/3 的直線。從編程的角度來看，這三種方法都是一致的，但是對於許多觀察者來說，後兩種方法有點奇怪。通常，如果有人寫下 1/3x ，他們的意思是
，如果他們的意思是
，他們會寫下x/3
相反，在 Wolfram Alpha 中輸入 y=sin 3x，得到的是正弦函數 y=sin (3x)，而不是斜率為 sin 3 的直線。這個例子與前面的例子不同，它遵循了「 3x 等同於 3 乘以 x 」的規則，以便更好地捕捉輸入的明顯意圖。Wolfram 只是一種算法，無法搞清楚憑人類感覺輸入的東西的意義。有點像我們的大腦。無論如何，6/x3 的輸入被理解為「 6/ x³ 」，因此 Wolfram 顯然不是糾正糟糕語法的權威。
在「1」方面，擁有物理學學位的數學教師珍妮•戈漢姆（Jenni Gorham）最近製作了一段優秀的視頻，解釋了幾個支持這種解釋的真實例子。她指出，在許多情況下，科學家把 a/bc 寫成
的意思。事實上，你會在化學、物理和數學課本上找到很多這樣的例子。戈漢姆女士和我曾就四則混合運算法則悖論進行過討論，她正式表示這個問題定義不明確，同時還指出，為了計算器編程，需要達成一致約定。她認為，一致的答案應該是 1，因為在世界上大多數國家，在這些正式語境中，並列算式中隱含乘法的優先級一直是慣例。
應該指出的是，約定不需要統一。如果我的兩個學生爭論最小自然數是 0 還是 1，我不會說他們中的任何一個是錯的，也不會對全球在這個問題上缺乏共識表示異議。Wolfram 知道這個慣例被分成兩個答案，生活還在繼續。如果每個關心這個問題的人都知道四則混合運算法則悖論也有兩個流行的答案（因此它本身並不是一個定義明確的數學問題），那麼這應該是令人滿意的。
希望在閱讀了本文之後，您能夠滿意地理解一個看起來如此基礎的問題是如何遺留下來的。在現實生活中，你應該使用更多的括號，避免歧義。我也希望世界各地的數學老師在這個慣例上出現分歧不會給大家帶來太大麻煩，因為這並不罕見，也不是真正的問題，除了計算器程式設計師。
原文連結：
https://plus.maths.org/content/pemdas-paradox
來聊：
你身邊朋友們的答案和你一樣嗎？
你是否也遇到過類似的「一題多解」問題？
可以在留言裡說出來，讓大家幫你評評理~
本文轉載自公眾號「中科院物理所」（ID:cas-iop）