第50期 切比雪夫多項式及其應用

2021-02-19 老陽講數學


切比雪夫（1821~1894），俄文原名Пафну́тий Льво́вич Чебышёв，俄羅斯數學家、力學家。1821年5月26日生於卡盧加省奧卡託沃，1894年12月8日卒於彼得堡。他一生發表了70多篇科學論文，內容涉及數論、概率論、函數逼近論、積分學等方面。他證明了貝爾特蘭公式，自然數列中素數分布的定理，大數定律的一般公式以及中心極限定理。他不僅重視純數學，而且十分重視數學的應用。

切比雪夫在概率論、數學分析等領域有重要貢獻。在力學方面，他主要從事這些數學問題的應用研究。他在一系列專論中對最佳近似函數進行了解析研究，並把成果用來研究機構理論。他首次解決了直動機構（將旋轉運動轉化成直線運動的機構）的理論計算方法，並由此創立了機構和機器的理論，提出了有關傳動機械的結構公式。他還發明了約40餘種機械,製造了有名的步行機（能精確模仿動物走路動作的機器）和計算器，切比雪夫關於機構的兩篇著作是發表在1854年的《平行四邊形機構的理論》和1869年的 《論平行四邊形》

切比雪夫多項式

以俄國著名數學家切比雪夫(Tschebyscheff，182l-1894)的名字命名的重要的特殊函數第一類和第二類切比雪夫多項式T(n)和U(n)(簡稱切比雪夫多項式)，源起於多倍角的餘弦函數和正弦函數的展開式，是與棣美弗定理有關、以遞歸方式定義的多項式序列，是計算數學中的一類特殊函數

餘弦倍角公式是由余弦的冪整係數線性組合來表示倍角的餘弦．這樣就產生餘弦的倍角能否用餘弦的冪次的整係數線性組合表示等問題．通過研究，發現cosnx都是關於cosx的次數等於x的倍數的、係數符號正負相間的整係數多項式，還進一步得到一些性質．應用此性質，可以得到一些求和公式及解決許多數學問題．進一步研究，發現此多項式可以轉化為切比雪夫多項式．

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