2020年高考加油,每日一題37:離散型隨機變量有關例題講解

典型例題分析1：

某射擊遊戲規則如下：射手共射擊三次：；首先射擊目標甲；若擊中，則繼續射擊該目標，若未擊中，則射擊另一目標；擊中目標甲、乙分別得2分、1分，未擊中得0分．已知某射手擊中甲、乙目標的概率分別為1/2,3/4，且該射手每次射擊的結果互不影響．

（Ⅰ）求該射手連續兩次擊中目標且另一次未擊中目標的概率；

（Ⅱ）記該射手所得分數為X，求X的分布列和數學期望EX．

考點分析：

離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．

題幹分析：

（Ⅰ）分別記「該射手擊中目標甲、乙」為事件A，B，「連續兩次擊中目標且另一次未擊中目標」為事件C，則P（A）=1/2，P（B）=3/4，由事件的獨立性和互斥性，由此能求出該射手連續兩次擊中目標且另一次未擊中目標的概率．

（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

典型例題分析2：

某中學有初中學生1800人，高中學生1200人，為了解學生本學期課外閱讀時間，現採用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統計了他們課外閱讀時間，然後按「初中學生」和「高中學生」分為兩組，再將每組學生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，並分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）寫出a的值；

（2）試估計該校所有學生中，閱讀時間不小於30個小時的學生人數；

（3）從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，並用X表示其中初中生的人數，求X的分布列和數學期望．

解：（1）由頻率直方圖的性質，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，

a=0.03，

（2）由分層抽樣可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，

∵初中生中，閱讀時間不小於30小時的學生的頻率為（0.03+0.005）×10=0.25，

∴所有的初中生閱讀時間不小於30小時的學生約有0.25×1800=450人，

同理，高中生閱讀時間不小於30小時的學生的頻率為（0.03+0.005）×10=0.035，

學生人數約為0.35×1200=420人，

所有的學生閱讀時間不小於30小時的學生約有450+420=870，

考點分析：

離散型隨機變量及其分布列；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機變量的期望與方差．

題幹分析：

（1）根據頻率頻率直方圖的性質，可求得a的值；

（2）由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時間不小於30小時的學生的頻率及人數，求和；

（3）分別求得，初高中生中閱讀時間不足10個小時的學生人數，寫出X的取值及概率，寫出分布列和數學期望．