八年級數學下冊中的勾股定理，是初中數學中的一個重要定理，它體現了「數」與「形」的完美結合。應用勾股定理，可解決與直角三角形有關的許多實際問題。這部分知識學生是否學好，就要看這七個題型學生是否掌握牢。
一、利用勾股定理在數軸上表示無理數。
解決方法:看這個無理數的平方，等於哪兩個有理數的平方和。就可以以這兩個有理數為直角邊長，構造直角三角形，則斜邊長為該無理數。
例:1、在數軸上找到表示實數√5的點。
因為(√5)=2+1，所以可以2，1為直角三角形的直角邊長，作直角三角形，則斜邊長√5。再以原點為圓心，√5長為半徑畫弧，與數軸正半軸的交點為√5，與負半軸的交點為－√5。
你能在數軸上表示出－√41嗎？
二、利用勾股定理求線段的長度。
解決方法:①先確定已知線段是直角三角形的直角邊還是斜邊。②已知直角三角形的兩條邊，直接帶入勾股定理公式可求出第三邊。③當題中已知一條邊長時，需根據已知條件找到另兩邊的關係。
例1、已知直角三角形的兩邊長為3，5，則第三邊長為____。
解:①當3，5為直角邊時。
3+5=9+25=34，則第三邊長為√34。
②當3為直角邊，5為斜邊時。
5－3=25-9=16，則第三邊長為4。
所以應填√34或4。
例2、已知直角三角形的一直角邊長為7，周長為56，求另一直角邊長及斜邊長。
解:設該三角形另一直角邊長為x，
則斜邊長為56－7－x
由勾股定理可得7+x=(56－7－x)，解得x=24
56－7－x=25。
答:另一直角邊為24，斜邊長為25。
例3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分線交BC於點D，垂足為E，ED=2cm，求AC的長。
分析:由題中的已知條件可知，解答該題用到直角三角形中，30°的銳角所對的邊等於斜邊的一半。
解:∵DE垂直平分AB
∴AE=BE，∠BED=90°
∵∠B=30°，BD=2cm
∴DE=1/2BD=1/2×2=1
∴BE=√(BD－DE)=√(2－1)=√3
∴AB=AE+BE=√3+√3=2√3
又∵∠C=90°，∠B=30°
∴AC=1/2AB=1/2×2√3=√3
三、利用勾股定理求非直角三角形的線段長。
解決方法:作三角形一邊上的高，將其轉化為兩個直角三角形，再利用勾股定理，並結合題中已知條件解決問題。
例1:如圖，△ABC中，∠C=60°，AB=14，
AC=10，求BC的長。
解:過點A作AD丄BC，垂是為D。
則∠ADC=90°
∵∠C=60°
∴∠CAD=30°，
∵AC=10
∴CD=1/2AC=1/2×10=5
在Rt△ADC中，
AD=√(AC－CD)=√(10－5)=5√3
在Rt△ADB中，
BD=√(AB－AD)=√14－(5√3)=√121=11
∴BC=CD+DB=5+11=16
四、利用勾股定理求摺疊問題中的線段長。
解決方法:①由摺疊後的重合部分，確定圖中的哪些線段是相等的。②設出要求的線段。③把已知線段，以及用未知數表示的線段長在圖上標出。④再利用勾股定理求解。
例1、如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD摺疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，摺痕為MN，求線段CN的長。
解:設CN長為xcm。
∵正方形邊長為8，∴DN長為(8－x)cm
∵E是BC中點，∴CE=1/2BC=4cm
在Rt△NCE中，EN=EC+NC
即(8－x)=4+x
解得x=3
答:NC長為3cm。
五、利用勾股定理解實際生活中的問題。
解決方法:①畫出符合題意的圖形。②結合圖形把已知條件在圖中標出。③利用勾股定理求出與問題有關的線段長，給出問題答案。
例1、有一隻鳥在一棵高4米的小樹樹梢上捉蟲子，它的夥伴在離該樹12米遠，高20米的一棵大樹的樹梢上發出友好的叫聲，它立刻以4米/秒的速度飛向大樹樹梢，那麼這隻鳥至少需要幾秒才能到達大樹樹梢和夥伴們在一起？
解:根據題意畫出圖形，由題意可得:
AB=4，BC=12，CD=20。
過點A作AE丄CD，垂足為E。
則AE=BC=12，AB=CE=4，
DE=DC－CE=20－4=16
在Rt△ADE中，AD=AE+DE=12+16=400
∴AD=20米
20÷4=5秒
答:這隻鳥至少需5秒才能與夥伴會合。
例2、如圖，某沿海城市A接到颱風警報，在該城市正南方向160km的B處有一颱風中心，正沿北偏東30°的方向以15km/h的速度向A城靠近，如果在距颱風中心100km的圓形區域內都將受到颱風影響，那麼A市會受到颱風影響嗎？如果受颱風影響，那麼影響的時間有多長？
解:過點A作AC丄BF，垂足為點C。
∴∠ACB=90°
由題意可知AB=160km，∠ABC=30°
∴AC=1/2AB=1/2×160=80km。
∵80<100
∴A市受颱風影響。
在Rt△ACD中，AC=80km，當AD=100km時
∴CD=√AB－AD=√(100－80)=60km
同理可得CE=60km，
∴DE=60+60=120
120÷15=8h
∴A城受颱風影響的時間是8小時。
六、利用勾股定理解答動點問題。
解決方法:①分析點的移動會出現哪幾種滿足條件的圖形，並畫出圖形。②結合圖形及題中的已知條件，確定哪些線段的長度是已知的，哪些是可以表示出來的。③利用勾股定理列方程求線段長。
例1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，動點P從點B出發，沿射線BC以1cm/s的速度移動，設運動的時間為ts。
(1)求BC的長。(2)，當ABP為直角三角形時，求t值。
解:(1)在Rt△ABC中，
BC=AB－AC=5-3=16所以BC=4cm
(2)由題意可知BP=tcm，當△ABP為直角三角形時，有兩種情況
①如圖，當∠APB為直角時，當P與點C重合，BP=BC=4cm，即t=4。
②如圖，當∠BAP=90°時，BP=tcm，CP=(t－4)cm，AC=3cm。
在Rt△ACP中，AP=3+(t－4)
在Rt△BAP中，AB+AP=BP
即5+[3+(t－4)]=t
解得t=25/4
答:當△BAP為直角三角形時，t=4或t=25/4。
七、利用勾股定理求最短距離。
解決方法:將實際中的最短距離轉化為幾何中的兩點間的距離或點到直線的距離，然後利用兩點之間線段最短或垂線段最短進行說理，最後利用勾股定理求出這個最短距離。
例1、如圖，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現有一隻螞蟻想從A處沿圓柱表面爬到對角線C處捕食，則它爬行的最短距離是多少？
解:如圖，將圓柱沿AB剪開，側面展開圖如下圖，
則AB=3，BC為底面圓周長的一半。
即BC=(1/2)πR=3π/2，
由兩點之間線段最短，可知螞蟻爬行的最短路徑為AC長。
在Rt△ABC中，AC=AB+BC=3+(3π/2)
=9+9π/4，AC=3√(4+π)/2
注意:求立體圖形中的最短距離，常將立體圖形沿稜剪開，展成平面圖形。
例2、如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=3，DC=1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值是多少？
解:如圖，作點C關於直線AB的對稱點C′，連接C′D，與AB的交點即為P點位置。
此時PC+PD=C′D的值最小。
連接BC′由對稱性可知∠C′BP=∠CBP=45°，∴∠CBC′=90°，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=3+1=4，
在RtC′BC中，DC′=BC′+BD=4+3=25
∴DC′=5
答PC+PD的最小值為5。