量子場論是什麼？｜展卷

​​原子和晶體中的電子，在不同的能級之間躍遷時，會輻射或者吸收光子。描述和計算這個物理過程，需要研究粒子的產生和消滅的量子場論。這是量子力學中最高深的部分，然而不提場論的量子力學介紹，是不完整的。下文經授權選自戴瑾博士著《從零開始讀懂量子力學》（北京大學出版社，2020年4月）第18章，介紹了量子場論這個複雜理論體系中的一些基本概念。

本書對量子力學做了嚴謹的科普，迴避了複雜的數學表述和方程式，並力求對基本概念清晰解釋，對科學原理準確表達。點擊「在看」並發表您的感想至「返樸」留言區，截至2020年7月5日中午12點，我們會選出3條留言，每人贈送該書一本。

撰文｜戴瑾

1 物質不滅的破滅

在中學的化學課上，學到過一條「物質不滅定律」。當汽油燃燒完後，物質並沒有消失，只不過汽油中的碳和氫原子，和空氣中的氧氣結合成了水蒸汽和二氧化碳。各種化學反應，只不過是物質在不同組合之間的轉換。

汽油燃燒時的發熱，來自於化學反應中，電子能級改變時輻射出的光子。面對光子被輻射的這個事實，相信物質不滅的人，或許還可以堅持狹隘的物質觀，說光子不算物質。但一對正負電子相遇，湮滅成兩個光子；這顯然不像是這對電子內的成分重新組合，變成了光子；而更像電子消滅了，光子產生了（正電子是電子的反粒子，除了帶正電，其他一樣），如圖1所示。

圖1 正負電子的湮滅

物質不滅是一個假象，只是因為在化學反應中，原子和內部的電子沒有足夠的能量製造光子以外的粒子。自從上世紀50年代粒子加速器發明後，物理學家們發現，高能粒子碰撞出新的粒子，屬於家常便飯。大量新的粒子種類在加速器上被發現，成就了量子場論的大發展。

當有粒子產生或消滅時，參與反應的粒子，一般都會接近光速，必須使用相對論。大部分粒子是有靜質量的，產生一個粒子，最低限度需要的能量，由愛因斯坦的質能公式給出。

E=mc^2

所以，量子場論，也被看成相對論和量子論的融合。

圖2 歐洲核子中心的LHC加速器 | 來源：歐洲核子中心官網

歐洲核子中心的LHC加速器，就是找到了著名的希格斯粒子的加速器，如圖2所示。它由27公裡這樣的地下隧道組成一個圓環，高能粒子在隧道內的真空管道中迴旋和加速，上千塊超導磁鐵幫助粒子轉彎。它可以把質子加速到6.6TeV（10^12電子伏）的能量，跟化學反應中1電子伏的典型能量比，高了1萬億倍。兩個這樣的質子的一次碰撞，可以產生成百上千個粒子。

量子場論，和高能物理這個領域緊密地聯繫在一起。所謂高能物理，就是每個粒子的能量很高，不但比化學反應中的高，比核反應中的也高很多。

2 什麼是場？

粒子為什麼可以憑空地產生和消失？解釋這樣的現象，需要一個理論基礎。讓我們從最熟悉的電磁場開始，介紹一下場的概念。

在我們的中學物理課本中，庫侖定律告訴我們兩個電荷之間的力和電荷成正比，和距離平方成反比。細想起來，庫倫定律有一個問題：如果兩個電荷在運動中，這個定律好像在說一個電荷能隨時「感知」另一個電荷的位置，冥冥中有一些不合理。

圖3 兩個運動電荷間的相互作用

運用麥克斯韋方程這套完整的經典電動力學理論，人們發現庫倫定律在兩個電荷有運動的情況下是需要修正的，一個電荷「感知」另一個電荷的位置有一個小小的時間延遲，這個延遲等於電磁波從一個電荷到達另一個電荷的時間，如圖3所示。麥克斯韋方程和電磁波的發現，使人們認識到，電磁相互作用，是以有限（儘管非常快）的速度傳播的。經典電動力學的研究證明，這兩個電荷間的能量傳遞，不是在一方消滅在另一方製造，而是在空間中流過去的。

傳播電磁相互作用和電磁波的介質，叫做電磁場。無論是物體的內部，還是抽掉空氣的真空，電磁場是無處不在的。電磁場攜帶著能量和信息，它具有物質的屬性。因此，現代物理學接受，看不見摸不到的真空，也是一種物質形態，電磁場是這種物質的一個屬性。

3 場的量子化與粒子的誕生

量子場論是一種量子力學，只不過，它的第一對象不是粒子，而是場。

描述粒子的狀態，用三個位置坐標，或者三個動量分量。描述場，則需要用作為時空函數的場量或者場強。比如電磁場，需要用 A(x, t) 和 φ(x, t) 來描述，在相對論中，A 和 φ 共同組成了四維時空中的向量。描述粒子的狀態只需要三個數，術語稱為有三個自由度，場則有無窮多個自由度，數學上要複雜多了。

量子力學中，粒子的位置可能不確定，粒子的狀態可以是不同位置的疊加，位置和動量不能同時確定。在量子場論中，一個空間點上的場，同樣可以是不同強度的疊加，場和場隨時間的變化率（相對於粒子的速度）同樣不能同時確定。量子場論，有些像晶體，是很多空間點上的量子力學。只不過晶體畢竟只有分布在離散的晶格點上的有限多個原子，場則擁有在連續空間中的無窮多個自由度。

這聽起來非常複雜，但量子場論的研究卻很快產生了一個簡單而重要的結果：所有的場都有波動，比如電磁場有電磁波。在一列波中，每一個點的場都在平衡點附近做周期性振動，就像晶體中的原子的振動。一列波的動力學，就像量子諧振子，它的能級是相等間隔的（E=(n+1/2)hf，n=0，1，2，3，…，其中h為普朗克常量，f為諧振子的頻率），每躍遷一個能級需要的能量是hf。這恰恰是一列波中一個粒子的能量！波的能量是量子化的，每一份能量，就是一個粒子，就像晶體中的一個聲子。量子諧振子的能級差，和波粒二象性中每個粒子的能量，都是，原來這並不是巧合。

讓我們總結一下量子場論的物質觀：

1. 每一種基本粒子，都對應著一種場，即使在真空中，這些場都無處不在
2. 在真空中，沒有可以觀測到的物質，是因為所有的場都處於能量最低的狀態
3. 場的能量是量子化的，每一份能量的激發，就在真空中增加了一個粒子
4. 粒子的產生和消滅，是由於不同的場，通過相互作用交換能量的結果

光子的場就是電磁場，電子也有自己的場。電磁場是四維時空中的向量，電子場的類型是旋量，有四個複數的分量。電子場的激發，包括電子和電子的反粒子——帶正電的電子。作為費米子，電子場的量子規則和電磁場不同，需要滿足泡利不相容原理，同一個狀態的電子，最多只能被激發出1個，如圖4所示。

圖4 量子場在一列波上的能級和粒子的關係

至今，粒子物理學已經確定了17種基本粒子，主要分為兩類。一類是狹義的物質粒子，有6種夸克、μ子、

子，還有3種中微子；這些都和電子一樣，是自旋1/2的費米子，用旋量場表示。另一類是在這些物質粒子之間，傳播相互作用的粒子，有傳播強相互作用的膠子、傳播弱相互作用的W和Z粒子，它們都和光子一樣，自旋是1，用向量場表示，用楊米爾斯場論描述。在這兩類之外，還有一個希格斯粒子，它自旋為0，它的場是四維時空中的標量。

4 零點能的困惑和宇宙的命運

量子諧振子的最低能量不是0，粒子不可以絕對靜止。按同樣的原則，量子的場也不允許絕對平靜，每一個波動形式下，都有零點的振動能量。

這個問題讓量子場論陷入了困難。首先，無限多種波動模式上都有零點能，真空的總能量密度一定是無窮大的。當然，也不是所有零點能都是正的，費米子的零點能是負的，不排除正負能量可以抵消。並且，在真空中存在不同粒子的場，這些場之間還有相互作用，也會影響到真空的能量。量子場論無法計算真空的能量密度，但合理的推測，它不應該是0。

在什麼都看不見的真空裡，能量是多少有關係嗎？真空的能量有沒有物理意義？

有一個很有趣的現象，展示了真空的能量，叫卡西米爾（Casimir）效應。兩塊金屬板，真空中靠近時，如果它們帶電，你知道會有吸引力或排斥力。但量子場論預言，當它們不帶電時，也會有一種吸引力。

圖5 兩個金屬板之間的電磁波振動模式

如圖5所示，因為電場不能進入金屬，兩個金屬板之間，電磁波的振動模式受到了限制，只有一系列駐波可以存在。這些駐波上，即使沒有任何光子，兩塊金屬板的存在，也影響了夾著中間的一部分真空的零點能。量子場論雖然算不清真空的能量是多少，但能準確計算內外的能量差，以及能差造成的吸引力，這個計算結果被實驗證實了。當然，兩塊板子要靠得非常近（納米級）才會有顯著的吸引力。

還有更重要的：愛因斯坦的狹義相對論告訴我們，能量和質量可以互相換算的，真空中的能量可以換算成質量，也可以產生萬有引力。真空的能量密度，就是愛因斯坦廣義相對論中的宇宙常數，它對宇宙空間的彎曲和演化，有決定性影響。

這很有趣，最微觀的基本粒子的物理學決定了最宏觀的宇宙的命運。

中學物理可能讓你覺得能量是一個標量；但在狹義相對論裡，能量和動量組成了四維時空中的一個矢量，能量是這個矢量在時間方向的分量。能量密度就更複雜。在廣義相對論裡，它是一個4x4張量中的一個分量，這個張量在對角線上的元素是壓強和能量密度。

你可能聽說過暗物質和暗能量。暗物質是宇宙中一些不發光的物質，除了不容易被看見，它們和普通物質一樣貢獻萬有引力。

真空能量就是一種暗能量，它的性質非常不同。如果暗能量密度是正的，它本身也貢獻吸引力，但正能量密度永遠伴隨著負的壓強，淨效果是排斥的。負的暗能量密度則貢獻一個淨吸引力。

我們的宇宙無比浩瀚，看起來是平直的。很長一段時間，人們認為真空的能量就是0。直到21世紀，天文觀測證實了宇宙在加速膨脹，這意味著真空有一個很小的正能量密度。這個能量密度，折算成質量，每立方米只有幾個氫原子，但也超過了宇宙所有物質（可見物質加暗物質）的平均總密度，足以克服它們的吸引力讓宇宙膨脹。膨脹以後，物質的密度更小了，暗能量的密度還是一樣的，所以膨脹會越來越快。

真空能量雖然不完全是0，從粒子物理的角度看，它太小了，隨便哪一項暗能量的貢獻都比這個值大幾十個數量級！從邏輯上來講，宇宙原來的真空能量和各種量子場的貢獻加在一起，可以完全抵消，這能說得通，但很不合理。如果沒有更高的機制來制約，宇宙原來的真空能量與各種量子場的貢獻加起來怎麼能抵消得那麼乾淨？這個巨大的疑問，至今仍是現代物理學的未解之謎。

作者簡介：戴瑾，1985年畢業於北京大學物理系。通過李政道CUPSPEA項目赴美留學，獲得德克薩斯大學奧斯汀分校物理學博士學位。期間在諾貝爾獎獲得者溫伯格的研究小組工作，師從於基礎物理學突破獎獲得者波爾欽斯基，共同創立了弦論中的D膜理論。現為英特爾高管。