定理3.11(柯西準則)：設函數f在U(x0;δ』)內有定義。lim( x→x0 ) f(x)存在的充要條件是：任給ε>0，存在正數δ(<δ』)，使得對任何x』, x」∈U(x0;δ)有|f(x)- f(x)|<ε.
證：若lim( x→x0 ) f(x)=A，則
對ε>0，存在正數δ(<δ』)，使對任何x∈U(x0;δ)有|f(x)-A|<ε/2.
於是對任何x』, x」∈U(x0;δ)有|f(x』)-f(x」)|≤|f(x』)-A|+|f(x」)-A|<ε.
其必要性得證。
若任給ε>0，存在正數δ(<δ』)，使得
對任何x』, x」∈U(x0;δ)有|f(x』)- f(x」)|<ε.
則數列{xn}U(x0;δ』)且lim( n→∞) xn=x0，
對δ，有N>0，使當n,m>N時，
有xn,xm∈U(x0;δ)，從而有|f(xn)- f(xm)|<ε.
根據數列的柯西收斂準則，數列{f(xn)}的極限存在，
記為：lim( n→∞) f(xn )=A.
同理數列{yn}U(x0;δ』)且lim( n→∞) yn=x0，則記lim( n→∞) f(yn )=B.
對於數列{zn}: x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，可見
{zn}U(x0;δ』)且lim( n→∞) zn=x0，
∴數列{zn}的極限也存在。∵{xn}和{yn}都是{zn}的子數列；∴A=B.
由歸結原則可得lim( x→x0 ) f(x)=A. 其充分性得證。
註：1、事實上，在證明充分性時，
∵對任何x』, x」∈U(x0;δ)有|f(x』)- f(x」)|<ε；
∴所有的xn∈U(x0;δ)看作數列{xn}，
則數列{f(xn)}的極限存在，記為：lim( n→∞) f(xn )=A.
則對{xn}中所有當n→∞以x0為極限的子列{x』n}
也有lim( n→∞) f(x』n )=A.
由歸結原則可得lim( x→x0 ) f(x)=A.
2、lim( x→x0 ) f(x)不存在的充要條件：
存在ε0>0，對任何δ>0(無論δ多麼小)，
總可以找到x』, x」∈U(x0;δ)，使得|f(x』)- f(x」)|≥ε0.
例：利用柯西準則，證明極限lim( x→0) sin (1/x)不存在.
證：取ε0=1，對任何δ>0，設n>1/δ，
令x』n=1/(nπ) , x」n=1/(2nπ+π/2)，則有x』, x」∈U(0;δ)，
而|sin 1/x'n -sin 1/x"n |=1=ε0.
根據柯西準則，極限lim (x→0) sin (1/x)不存在.