■張天蓉/文 科學網
不過，現在還有一個問題：上一節的推導過程是對時間間隔（t2-t1）趨於無限小的時候才能成立，如果對有限長的一段時間（t-t0）又該怎麼辦呢？費曼對此日思夜想，終於有一天（從夢中醒來後）感覺自己想通了：只需要將整個有限時間段分成很多很多個小時間段，對每一段都可以應用以上同樣的做法。然後再令這些時間小段趨於零，而小段的數目趨於無窮大，加起來後求極限。最後，也同樣能夠在有限的時間區域中導出薛丁格方程【1】。
以經典拉格朗日量作為相位的傳播子可以推導出薛丁格方程的這個事實，說明這種方法與薛丁格方程是等價的。所以現在，我們有了三種方法來描述量子力學：除了薛丁格的微分方程、海森堡的矩陣力學之外，又有了費曼的方法！這三種表述都能得到同樣的波函數，然而，費曼這種方法到底是什麼意思呢？如果按照費曼所想的辦法，將有限的時間段分成無限多個小時間段，聽起來倒也不是什麼新花樣，那不就是微積分的思想嗎。不過，從上一節的敘述中可知，每一個時間小段的傳播子，都包含了一個積分表達式。現在如果有無限多個小時間段的話，總的傳播子就應該要做無限多次積分。那麼，這無限多次積分的幾何圖像是什麼呢？讓我們從以上描述的費曼的思路過程來理解它。
圖2：從假想而設立的擋板來理解費曼路徑積分
首先，我們考慮從A傳播到B的粒子的機率波。如圖2a所示，假設粒子傳播的過程中，在t1時刻被一個有4條狹縫的擋板擋住了。如果（t2-t1）很小的話，那麼，近似而言，這個粒子在t2時刻到達B點的機率是狹縫到B的4條直線路徑的貢獻之和。如果狹縫數增多，直線路徑便增多，各條直線路徑對機率的貢獻也就相應地疊加上去。關鍵之點是：狹縫增加到無限多，實際上意味著沒有了擋板！因而，沒有擋板的情形下，t2時刻到達B點的機率是從t1時刻無限多個不同的位置連到B點的無限多條直線路徑的貢獻之和。現在，假設A和B之間的時間間隔不是「很小」，那麼，的確和微積分的思想一樣，現代數學的高招就是將這一段「有限」的時間間隔分成許多許多小間隔，然後對每一個小時間段都運用剛才的方法做一遍。比如說，我們考慮圖2b有兩個擋板的情形。第一個擋板有3條狹縫，第二個擋板有4條狹縫，那麼這時候，這個粒子從A到B的機率是3*4=12條折線路徑之和。換個說法，也就是兩次求和之乘積。然後，沿用剛才的辦法過渡到除去擋板的情形，也就是說，沒有擋板的情形下，粒子從A到B的機率是中間兩個時刻點無限多個不同的位置連到B點的無限多條「折線」路徑的貢獻之總和，或稱之為二重積分。
再將上面的思路過程推廣到A和B之間有n個時間點，即有n個擋板的情形。想像對每個擋板都將以上過程做一遍，然後便不難得出如下結論：粒子從A到B的機率是中間n個時刻點對應的無限多個不同的位置分別連到B點的無限多條「折線」路徑的貢獻之總和。或者說，是n次無限求和（即積分）之乘積。
再進一步，將時間間隔劃分成無限多個時間點，如圖2c所示，即令n趨於無窮。這時候，粒子從A到B的機率應該是無限多個積分之乘積。而上述解釋過程中所謂的「折線」，也都變成了連續曲線，換言之，這無限多條曲線實際上就是代表了從A到B的所有任意形狀的「路徑」。
因此，可以將剛才的解釋表達得更容易理解一些：從A到B的傳播子，或轉換函數，是從A到B的所有路徑貢獻之和。還可以引申成更為數學的語言：這兒的無限多重積分，可以看作是對所有路徑的積分，換言之，對「路徑空間」的積分。這個路徑空間又是什麼呢？是所有從A到B的三維曲線構成的空間，這就又回到了我們在本系列最開始介紹伯努利的變分法，即「最速降線問題」時候的那個泛函空間。如此一來，貌似高深的量子力學路徑積分與那個簡單的幾何問題又聯繫起來了。
後來，費曼企圖將這個作法應用到狄拉克的相對論性量子理論時，碰到了困難。再後來，費曼參加到原子彈研究的曼哈頓計劃中，無暇顧及這個理論問題。不過他在1942年以此思想為基礎完成了他的博士論文「量子力學中的最小作用原理」。大戰之後，費曼受聘於康乃爾大學，繼續他對量子理論問題的探討。幾年之後，費曼在他的博士論文的基礎之上，完善了作用量量子化的路徑積分方法。他1948年在《現代物理評論》上發表的「非相對論量子力學的空一時描寫」便是其劃時代的代表作。幾乎同時，費曼也成功地解決了量子電動力學中的重整化問題，創造出了著名的費曼圖和費曼規則，用以方便快捷地近似計算粒子和光子相互作用問題。之後在60年代，費曼又發展了量子場論中的泛函積分方法，其實就是將單粒子的三維函數路徑空間推廣到場論的多維（無限維）路徑空間而已，不過此是後話不表【2】。
費曼的路徑積分是「最小作用量原理」在量子力學中的推廣。它讓我們完全從另外一個角度來理解愛因斯坦的問題：大自然是如何創造這個世界的？科學家們只能從自身的經驗和人腦的思維想像來「揣摩」大自然的所謂「意圖」。這裡涉及到諸多的物理量之中，「哪些是最基本的？」這一類問題。比如說，物理學家最早發現了「力」的概念，後來又有了「能量」的概念。如果有孩子問你：「蘋果為什麼會掉下來，正好打到牛頓的頭上呢？」你起碼可以有兩種方式回答這個問題。一種方式是從力的觀點。你說：「蘋果受到地球重力的吸引而下落，我們周圍的空間中重力場無處不在，它作用到蘋果上，使得蘋果在每一個時空點都因為它受到的力而作相應的運動！」。另一種方式呢，你可以從能量的觀點來回答：「蘋果只有處於勢能最低的位置才穩定。所以嘛，它就往下掉，往下掉，一直掉到勢能最低無法再低的位置為止！」用更數學的觀點來看待這兩種說法，第一種是與力場的微分方程有關；第二種方法則是將「能量」視為更為基本的物理量；從前面幾節中我們了解了最小作用量原理，所以，你還可以用「作用量」替代「能量」，用第三種說法來解釋。也許用作用量來解釋蘋果的下落不是很直觀，那麼，我們在上一節中所舉的光線、救援者、螞蟻的行為，便為你提供了很好的實例。
回到理論物理。三個物理量中，力、能量、作用量，到底哪一個更為基本呢？當費曼剛開始提出量子力學的路徑積分表述方法時，並未得到主流物理學家的贊同。波爾就是對此長期持反對態度的人之一。波爾實際上非常看重費曼的才華和直率的性格，費曼自己曾經講過一個故事：按照費曼的說法，費曼剛加入曼哈頓計劃時的波爾就如同物理界的神一般受到大家的尊敬。當時，尼爾·波耳任曼哈頓計劃的顧問，和他的兒子一起多次到美國洛斯阿拉莫斯實驗室訪問。費曼如此生動地描述過波爾到來時的兩次物理聚會【3】：
「第一次聚會時，我坐在後面的某個角落，只能在眾多腦袋瓜的縫隙間看到一點點波耳的影子。但他第二次來開會的那天早上，我接到一個電話。是波爾的兒子打來的，說他父親想和我談談。於是，我和波爾在一個辦公室裡反覆討論和爭論了很久有關原子彈的很多想法。後來我才從小波爾那兒知道了事情的來由：原來上次他們來訪後，老波耳跟他兒子說：『記得坐在後面那小夥子的名字嗎？他是這兒唯一一個不怕我的人，只有他會指出我的想法的荒謬。』因此，老波爾決定，下次要討論什麼問題時，不能只找那些只會說『是，波耳博士！』的人談話，於是，才在會議之前，先找了我這個『小人物』去討論了半天……」
但玻爾對費曼路徑積分方法有所誤解，還曾經把費曼圖誤解成粒子運動的軌跡，並對之進行了嚴厲的批評。沒有明確的記載說明愛因斯坦是如何看待路徑積分的。費曼和愛因斯坦接觸很少，只有過3次短暫的見面。第一次是在普林斯頓大學物理系，1940年末，惠勒建議費曼在魏格納教授負責的討論會上報告他們的工作，魏格納認為惠勒和費曼的工作很重要，他邀請了好幾個重量級的大師：天文系的亨利·諾裡斯教授、數學系的馮·諾伊曼、當時從蘇黎世來訪的泡利，當然還特別邀請了大名鼎鼎的愛因斯坦。當時，挑剔的泡利坐在愛因斯坦旁邊，自己表示不認可惠勒和費曼的作法，並且詢問愛因斯坦的看法，愛因斯坦含糊而溫和地答了一句「no」。不過，那時候費曼有關路徑積分的思想尚未成熟，報告中講的主要是有關輻射阻尼的問題。後來，大約是1948年，惠勒曾經將費曼量子力學路徑積分的論文交給愛因斯坦看，並對愛因斯坦說：「這個工作不錯，對吧？」又問愛因斯坦：「現在，你該相信量子論的正確性了吧！」愛因斯坦也並未直接對費曼文章發表看法，而是沉思了好一會兒，臉色有些灰暗，怏怏不快地說：「也許我有些什麼地方弄錯了。不過，我仍舊不相信老頭子（上帝）會擲骰子！」
六十年代之後，費曼通過他自身人格的魅力、風趣迷人的講演風格、以及深入淺出的物理論著，使得路徑積分的觀點對年輕一代物理學家產生了巨大的影響，也逐漸得到老一代前輩的認可。
到七十年代，海森堡和狄拉克都轉而相信，量子力學的基本特徵是用以解釋路徑積分的帶相位的機率幅，而不是非對易關係。
費曼則在《量子力學與路徑積分》這本著作中說：「量子力學中的機率概念並沒有改變」、「所改變了的，並且根本地改變了的，是計算機率的方法。」因此，費曼對量子力學的觀點，是基本屬於統計詮釋一派，只不過，他不是用解微分方程的方法，而是用路徑積分的方法來計算機率而已。
微分方程是局域的、立足於力的概念，積分的方法是整體的、基於能量或作用量。這是看問題的兩個不同角度，從力的角度看，能量為次級屬性。如果從能量或作用量的角度看，力就是一個次級屬性。費曼的路徑積分使我們從另一個角度來理解量子力學。還不僅僅如此，有時候，更為基本的物理量的正確選擇是具有物理意義的，比如AB（阿哈羅諾夫-波姆）效應便是一例。在此我們不再重複敘述，有興趣者請參考筆者的另一篇博文【4】。
圖3：經典到量子
根據路徑積分法，從一個時空點（A,tA）到另一個時空點（B, tB）的機率幅，來自於所有可能路徑的貢獻，每一條路徑的貢獻的幅度一樣，只有相位不同，而其相位則與經典作用量有關，等於（S/ℏ）。
在這兒ℏ是普朗克常數。因此，ℏ正好具有作用量的量綱，可以把它看作是作用量的量子，而S/ℏ表明了對應於每條路徑的作用量S的量子化。換言之，路徑的作用量子的數目決定了該路徑對機率幅的貢獻。
更為奇妙的是，路徑積分在經典物理和量子物理之間架起了一座橋樑。對宏觀尺度來說，作用量子ℏ是個很小很小的量，因此，對每條路線，S 都比ℏ大很多，對該路線的臨近路徑而言，相位的變化非常巨大而使得這些路徑貢獻的機率幅相互疊加互相抵消。但有一條路徑附近的機率幅不會完全抵消。那就是當這條路徑與其臨近路線的相位變化不大基本上相同的那條路徑，換句話說，也就是對相位的變分為0的那條路徑，或者說是作用量S的變分為0的路徑。說到這兒，我們已經知道了，那就是經典粒子的路徑！如此而來，宏觀而言，量子現象就過渡到了經典的運動軌跡，這也就是最小作用量原理與量子力學路徑積分之間更深一層的關係。
參考資料：
【1】TheDevelopment of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics，NobelLecture by Richard P. Feynman, December 11, 1965。
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/feynman-lecture.html
【2】GENIUSThe Life and Science of Richard Feynman. By James Gleick. New York: Pantheon Books.
【3】《別鬧了，費曼先生》，R.費曼，生活·讀書·新知三聯書店，1997。
【4】《矽火燎原》-28-AB效應和貝裡幾何相。
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&quickforward=1&id=741018
來源：科學網張天蓉博客