昔者，共工氏與顓頊爭為帝，怒而觸不周之山，天柱折，地維絕。
——《列子·湯問篇》
談談碰撞問題吧。利用碰撞問題來講講大學普通物理中《力學》的基本內容。
首先，要有一個物體。當只有這一個物體的時候，它會保持靜止或勻速直線運動，因為沒有其他東西給它施加作用力嘛。這就是牛頓第一定律。
其次，碰撞最少還要一個物體。兩個物體才會發生碰撞，它們會彼此施加力的作用。對於任何一個物體來說，力的作用會改變它的運動狀態，運動的變化與所加的力成正比，並且發生在力的方向上。這就是牛頓第二定律。所以，碰撞後兩個物體的運動狀態都會發生變化。
然後，兩個物體之間的相互作用力大小相等，方向相反。這就是牛頓第三定律。所以，兩個物體作為一個整體來說，其運動狀態在碰撞後不會發生變化。這就引入了質心的概念。同時，兩個物體相對於彼此的運動比照質心參考系來說更快了，這就引入了約化質量的概念。
碰撞的過程中動量守恆。最便於描述碰撞過程的參考系是質心參考系，因為該參考系中的兩個物體的總動量為零。碰撞前，每個物體的動量大小相等，方向相反;碰撞後，每個物體的動量仍然是大小相等，方向相反。但是碰撞前後的大小和方向都可以發生變化。知道了質心坐標系的碰撞結果，很容易轉變到任何其他的慣性參考系中，比如說，實驗室參考系。
在碰撞的過程中，動能沒有必要是守恆的。兩個物體可以粘在一起，這樣它們就不動了，動能為零；兩個物體的碰撞也可能引發爆炸，化學能或者核能可以轉化為動能。所以，碰撞過程可以分為彈性碰撞和非彈性碰撞。彈性碰撞過程中，動能是守恆的；非彈性碰撞中，碰撞前後的動能不一樣，通常說動能變小，甚至還引入了小於1的恢復係數來描述它，其實動能也是可以增大的。
這就是經典力學中的碰撞問題了。這樣的碰撞涉及的物體大小和速度都與我們的日常經驗相差不大。至少有兩種不適用的情況。一種是碰撞體太小了，這就會涉及到量子力學;另一種是運動速度太快了，這就涉及到相對論。
多小算小呢？大約原子的尺度吧。此時的主要修正在於，碰撞的粒子不再是可以區分的，全同粒子的特性改變了碰撞過程的細節。質心系仍然是最合適的參考系，動量守恆也仍然滿足，但是全同粒子的統計特性的差別(費米子還是玻色子)會導致散射方向分布的不同。
多快算快呢？大約光速吧。光速設定了物體運動速度的上限，運動速度接近光速的時候，物體的質量會發生改變，不同於靜止情況下的質量。但是，相對論對碰撞過程的影響，仍然是對細節的修正。
高能粒子對撞機同時涉及了量子力學和相對論的修正，但是它仍然是個碰撞問題。特別的地方在於，碰撞的後果比較嚴重，碰撞前的是兩個狀態穩定的傢伙，碰撞後可能就是亂七八糟的一堆瘋子了。但是，他們也滿足動量守恆，其能量和動量分布能夠反映出碰撞的細節。高能物理學研究的就是這東西。
兩體碰撞問題也可以很容易地推廣到多體碰撞，乃至一個物體與流體的運動問題。
比如說，所謂的比薩斜塔實驗。從多高的塔上扔鐵球，才需要考慮空氣阻力呢？鐵球密度為ρ1，半徑為r，空氣密度為ρ2，下落高度為h，鐵球質量與其排開空氣的質量相近時，空氣顯然不能忽略。則，ρ1r³∼ρ2r²h，即， h∼(ρ1/ρ2)r。也就是說，這個高度是鐵球半徑的幾千倍。幾釐米的鐵球，塔高大約幾十米。顯然，如果把球的尺寸縮小几萬倍，到達微米的尺度，這就是霧霾懸浮在空氣中的原因了。
當然，上面的估計只是個很粗糙的上限，根本沒有考慮物體運動速度的影響。考慮進來也不難，換個例子，談談風阻吧。Blowing in the wind，看起來很酷，其實阻力蠻大的。
物體的運動速度為v，截面積為S，空氣密度為ρ，單位時間內排開的空氣品質就是ρSv這些質量也獲得了v，所以阻力就是ρSv²。當然，這只是估計值，顯然還差了係數，所謂的風阻係數，主要是由物體外形決定的，我們通常說的流線型外殼，講的就是這個。不管節能要求高的電動車、底盤要求特別穩的賽車，還是速度非常快的高鐵、飛機和火箭，都很講究這個，而且這玩意也不完全是靠算出來的，主要還是靠風洞來吹。顯然，這種估計也可以用來討論降落傘。
有碰撞就是分離。火箭發射也可以看作是一種碰撞過程，只不過我們通常認為它是分離。當然可以用微分方程來描述火箭發射，但是理解其中的物理，根本就用不著這麼複雜。我們都知道，「一尺之捶，日取其半，萬世不竭。」把它當成火箭好了，切掉一半往後一扔，前面的一半就往前走，速度為v；把往前走的這一半再切掉一半，往後一扔，前面的速度就變為2v；如此下去，切n次，前進的速度就是nv，剩餘的火箭質量就是1/2ⁿ。 顯然，這就是火箭運動微分方程裡得到的vln(m0/mf)，只是差了個ln2而已。
火箭靠自我犧牲才能前進，其實也有憑藉外力的方法，而且也是個碰撞問題。「好風憑藉力，送我上青雲」，風口上的豬，不就是這樣的嗎?甚至連風都不用，太陽光就可以。太陽光把風箏曬脫一層皮，風箏也會往前跑，這是克魯克斯管；太陽光被反射，風箏也會往前跑，這就是太陽帆，來自於光子的動量；在非常特殊的情況下，曬太陽甚至可以讓你舒服得團團轉，這就是雅科夫斯基效應;如果你會忽悠，還可以考慮用雷射，玩個飛躍人馬座的大遊戲。
好了，上面這些例子都是瞎比劃，而且是非常隨意地挑選出來的，他們甚至都沒有什麼精確解。最後，再舉幾個真正了不得的碰撞例子，算是向數學致敬吧。
宇宙級別的，傳說中的黑洞吸積盤和今年大熱的雙黑洞旋轉；星體級別的，引力彈弓，月球上的隕石坑，以及恐龍滅絕的原因；宏觀大小的，彈道飛彈和反導系統；分子級別的，布朗運動，各種化學反應；原子級別的，康普頓散射，雷射冷卻；原子核級別的，盧瑟福散射；基本粒子內部的，夸克的漸進自由。
甚至還有把微觀粒子和宇宙環境聯繫起來的碰撞，比如說，著名的「我曹」粒子(Oh-My-God particle)，單個氫原子核的能量達到了10²¹eV，之所以讓大家迷惑不已，大呼「臥槽」，就是因為一個簡單的碰撞問題，限制了這種能量的粒子的出發點到地球的距離：超高能量的粒子會和宇宙微波背景輻射中的微波光子發生碰撞，從而產生次生粒子。簡單的估算，可以知道，這麼高能的粒子，與地球的距離不會超過100萬光年，可是，在一百萬年這麼小的尺度裡，有什麼機制能夠產生這麼高能的粒子呢?如果你也想不出來，那麼就只好說聲「握草」了。
其實，碰撞很常見，碰撞也很簡單。
更重要的是，碰撞的發生其實很偶然，就像你偶然讀到了這篇文章，就像張愛玲偶然發出的感慨：
於千萬人之中，遇見你要遇見的人。於千萬年之中，時間無涯的荒野裡，沒有早一步，也沒有遲一步，遇上了也只能輕輕地說一句：「你也在這裡嗎?」
以上原文連結：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1010966.html。
附：力學教學筆記之緣起
伯樂教其所憎者相千裡之馬，教其所愛者相馭馬。千裡之馬時一有，其利緩；馭馬日售，其利急。此《周書》所謂「下言而上用者，惑也。」
——《韓非子·說林下》
2016年4月底，邢志忠老師來信，問我是否能夠給國科大帶門力學課，授課對象是一年級本科生。邢老師認為我能上課，大約是因為看到我經常在博客上瞎扯。其實我幾乎沒有給本科生上課的經驗：我在研究生院上過七八年的課，但是聽課的都是研究生；我給北科大的學生上過三五堂課，但那僅僅是類似前沿講座的專業課程，聽課的也是三年級本科生。我對國科大的本科教育一直有些好奇，也參加過兩次本科生的面試招生工作，所以我確實有興趣參與一些教學工作，困難在於我不知道自己能不能做好。
我考慮了幾天，中間從邢老師那裡了解了更多關於授課內容及要求方面的信息。邢老師把北大劉樹新老師的授課筆記給了我作參考，更是允許我完全根據自己的意願來上課，想怎麼教就怎麼教。最後我決定還是試試吧。
雖然說，我可以想怎麼教就怎麼教，可是我也知道，我絕對沒有錢學森當年在中科大力學系上課那樣的自由。錢學森想怎麼上課就怎麼上課，想怎麼考試就怎麼考試：考試一整天、暈倒了三五個、不及格一多半?沒問題。全體延期半年畢業、補習高等數學、做題三千道?也沒問題。因為錢學森就是他們畢業後的領導，學生畢業後就是給他幹活的。那個時代已經過去了，現在的形勢完全不同了。大學物理只是一門課而已，我只是一名普通的上課老師而已，我可以想怎麼教就怎麼教，可是學生們也可以想怎麼學就怎麼學呀!上完了這門課，我也不能幫他們找工作，憑什麼呀!點名、績點什麼的，真的有人在乎嗎?而且我真的需要藉助於這些手段嗎?我知道自己為什麼來教，他們知道自己為什麼來學嗎?
我覺得，學習大學物理是為了學會抓住主次矛盾，建立適當的模型，從而培養分析和解決問題的能力；學習高等數學是為了培養周密的邏輯思維能力(例如，極限的ϵ−δ定義)和掌握方便的解題工具(例如，微積分和線性代數)；而語文能夠讓大家進行有效的交流。既然是教物理課，那麼數學和語文不過就是工具而已。我是希望能夠幫助學生建立物理圖像，而不是讓他們刷題或者糾結於數學技巧。對於大學物理來說，所有的函數都是連續的、無限可微的，所有的微分方程都是可解的，不用考慮解的存在性和唯一性，等等。畢竟，那些都是細節而已。
正如費曼所說的那樣，「物理學家需要有從多種觀點看問題的能力。物理直覺完全是非數學化的、不精確的和不準確的事情，但它對物理學家來說絕對有用。」朗道也是這麼認為的，「確定對研究現象的近似程度在理論研究中是非常重要的。最嚴重的錯誤是，採用非常精確的理論並詳細計算所有的細節修正，同時卻忽略了非常重要的物理量。」朗道和費曼都是了不起的物理大師，他們都擁有無比嫻熟的數學技巧，但是他們更看中物理圖像和物理直覺。
我用的教材是北大舒幼生老師的《力學》，因為我有劉樹新老師的授課教案作參考，還因為這本書上的每道題都有詳細的解答，不僅是例題，課後的練習題也是(《力學習題與解答》)，更重要的是，我認為學習的時候用哪本教材其實都是無所謂的。我甚至覺得，大學普通物理的教學都用不到微積分——我已經上了一個月的課，我在課堂上基本上不用微積分的，碰到微分方程或者定積分什麼的，我只是試著說服學生們，這些東西確實很容易估計個結果出來，如果他們真的想解題的話，也很容易在隨便哪本高等數學的教材裡找到答案的。從某種意義上來說，我似乎在嘗試用趙凱華《定性和半定量物理學》中的方法。
但是效果怎麼樣呢?現在還很難說。但是，至少我已經成功地使得幾名學生轉班走了，現在這門課只有不到50人，勉強算是小班教學了吧。考慮到我這個班裡，沒有學數學的，只有幾個學物理的，大多都是化學、電子、計算機、乃至生物和醫學方面的學生，我覺得自己還是可以再堅持一下的。順便說一下，今年的一年級本科生都要學力學，但是他們有6個選擇，其中3個是4學分的A課，另外3個是3學分的B課(我就是B課)，每個老師都有如何上課的自由，而每個學生也都有選課的自由。所以，有用朗道力學來上課的老師，也有像我這樣的嘗試。其實不僅物理課是這樣，數學課也是的。在等班車的時候，我聽到有個老師說他要用兩個月來講實數，而另一位老師則打算在一個月裡先講講物理要用到的微積分。
下面說說給本科生上課的感覺。學生們的出勤率是高的，做作業也是認真的(第一次作業的時候，有同學碰到不會做的，甚至也不去翻閱《力學習題與解答》)。但是教學交流呢，怎麼說呢?其實也沒有太多的交流，原因不太清楚。雖然我覺得自己蠻主動的，希望能夠得到一些反饋，可是也許我這個形象不那麼讓人容易相信，也許學生們還不太有什麼問題——雖然他們也說，上課好像能聽懂，但是下去做題還是有困難。我說你什麼不懂啊，上課提出來好了；他說我什麼也不懂，不知道提什麼。當然，比給研究生上課好多了：給研究生上課的時候，一學期下來也沒有一兩個人提問題;給本科生上課，差不多每節課都會有個把人提問題。而且還有個同學給我寫過一個很長的郵件，可惜，然後就沒有然後了。
在上課過程中，我對朱邦芬老師《「減負」誤區及我國科學教育面臨的挑戰》指出的問題有了更深刻的了解，對於當年清華理科基地班面臨的挑戰也有了更多的認識，即將到來的期中考試可能會讓我知道，當年北大俞允強老師反映的問題現在到底有什麼新進展。當然，就是用腳趾頭也可以猜到，應該沒有太大的改善，畢竟，教學矛盾是個世界性的問題。
天行有常，不為堯存，不為桀亡。應之以治則吉，應之以亂則兇。
以上原文連結：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1010832.html
本文轉自科學網jiyang1971的個人博客，作者：姬揚，中國科學院半導體研究所，研究員。封面圖片來自百度經驗。
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