在數學世界中,知道結果,如何計算出原因?

2020-12-08 騰訊網

要預測地震如何通過地殼傳播，必須知道地下巖石的物質性質。要預測中午的天氣，必須給出黎明時分天氣作為初始條件。要預測飛機的阻力係數，必須指定飛機的形狀。所有的數學模型都需要信息才能進行預測。要輸出結果，就先得輸入。

然而，在許多情況下，我們面臨著相反的問題：給定關於一個物理過程結果的信息，它是如何產生的？與前面給出的正問題相反，這種問題被稱為逆問題，因為它顛倒了編碼在描述物理過程的方程中的因果關係。將解答逆問題的過程想像成偵探數學謎題——先看到犯罪現場，然後尋找罪犯。

無處不在的逆問題

選擇一組數字，讓它們加起來等於27，這簡直是輕而易舉。但是反過來，如果知道一組數字的和是27，卻沒有額外信息，那麼要準確知道這組數字是什麼，則是難如登天。

○逆問題比正向問題困難得多。| 圖片來源：Pany@NPI

如果空間中有一個已知電場的擾動，怎麼知道引起電場的物體在哪裡，它的阻抗是多少呢？一些種類的魚為了在渾濁的水中尋覓到食物和戀人，進化出了非凡的聰明才智，能夠求解出電場定位這一逆向問題。

○(A) 鱘能感知浮遊動物（水蚤）釋放出的電場；(B) 電鰻通過尾巴上的帶電器官釋放出電場，如果物體的導電性與周圍水的導電性不同，就會讓電鰻自身產生的電場發生扭曲。浮遊生物的導電性比周圍水的導電性大，因而會增強局部電場。| 圖片來源：scholarpedia

知道一顆恆星發出的光譜，如何知道它的化學成分是什麼？知道地震波的表面觀測，如何知道它經過的巖石的性質是什麼？如今，人們求解逆問題以監測核反應堆的完整性，或許有一天，我們也可以求解逆問題來確定遙遠系外行星的化學成分。

逆問題非常有趣，而且無處不在。蝙蝠和潛艇船員解決了在黑暗中導航的逆問題——讓信號反彈回來的障礙物在哪裡？他們的解決方案支撐著許多現代技術，從地下石油勘探，到醫學成像和日常天氣預報。人類很難下潛到海底，更無法進入到火熱的太陽內部，但是，這些技術提供了一種有效的方法，從這些我們無法輕易進行實驗的地方獲取信息。

如何求解逆問題？

然而，求解逆問題在數學上非常困難。現實中出現的正向問題往往是適定性問題，也就是說，對於合理的輸入數據，有著合理的唯一解決方案。不幸的是，逆問題卻幾乎總是非適定性問題，通常有許多可能的輸入與觀察到的輸出相匹配。即使對於完美的數據存在唯一的解決方案，如果觀察到的輸出有所波動，這個解決方案通常也是不穩定的；而現實生活中的觀察結果往往是片面的，並被環境噪聲幹擾破壞。

1966年，馬克·卡克（Marc Kac）就提出了一個逆問題解具有非唯一性的著名例子：一個人能聽到鼓的形狀嗎？

根據理想化的數學模型，鼓的聲音是通過由曲線Γ限定的區域上拉普拉斯算子的主要本徵值描述的。如果給定關於一個未知區域上拉普拉斯算子本徵值的全部知識，有可能重建曲線Γ的形狀嗎？

Carolyn Gordon等人給出了一個具有裡程碑意義的結果，他們用反例證明答案是否定的：兩個非平凡的不同形狀會給出完全相同的本徵值。

○這兩種不同邊界形狀的「鼓」會發出相同的諧音。| 圖片來源：[1]

對於非適定性這一基本特徵，有兩種回應：確定性方法和貝葉斯方法。

確定性方法說的是，問題應該被正則化：引入額外的信息，將問題轉化為一個近似的適定性問題。例如，可以修改問題，尋找最小數量的輸入，或最平滑的輸入，或與當前猜測最接近的輸入，以匹配已知的觀察結果。

然而，確定性方法在很多方面都難以令人滿意。首先，正則化總是涉及任意的選擇而非主觀的選擇：在所有與觀測數據一致的可能輸入中，為什麼認為這個輸入是問題的唯一解決方案呢？此外，改變添加的正則項的強度通常會完全改變解的特性，而且在實踐中經常不清楚應該如何選擇正則項的強度。

貝葉斯方法則將逆問題的解看作是輸入空間的概率分布，而不是單個輸入。這個分布給任何在實驗誤差範圍內與觀測數據匹配的輸入都賦予一定的概率。然後，根據觀察結果反向求解的過程基本上就是一個貝葉斯過程，代表我們當前知識的先驗概率分布，隨著新獲取的信息更新為後驗概率分布。（進一步閱讀《用貝葉斯的眼光看待世界》）

貝葉斯方法在哲學上更令人滿意，但它的計算量大得可怕：描述一個典型問題的後驗概率分布，可能需要求解數十萬、甚至數百萬個正向問題。對於大多數物理問題，如此巨大的成本使得這種方法完全不具有可行性。逆問題的高效貝葉斯解法是數值分析和統計研究領域的前沿問題，有許多最新的進展和重要的發現等著我們。

參考來源：

[1]https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/i-inverse-problems

[2] http://scholarpedia.org/article/Electrolocation

相關焦點

  • 在Excel中,如何讓文本公式計算出結果?
    問題描述有老鐵發來一個問題，列了一些房間的尺寸，想計算出結果，這老鐵在公式前面加了=號，但是就是不出結果，怎麼辦了？總不能一個個面積用計算器算出來再把面積敲進去吧？這可是在Excel裡面了……問題分析這種表面上看是數學表達式，但是如果在Excel中，想通過在前面直接加=號，得到結果， 是不可行的；哪到底要怎麼做才能得到結果呢？
  • 原因的原因不是原因,結果的結果不是結果
    四是什麼導致了「原因的原因不是原因、結果的結果不是結果」？由此，我們強調謀略、設計、規劃，仰慕天才自上而下改變世界。我們到底該如何解釋這個世界所發生的一切？尤其是其中那些壯闊的、戲劇化的、千鈞一髮的歷史轉折點？亞當·弗格森說：這些都是人類行為的結果，而非出於人類的設計。它們是演變現象。不管是有神論者，還是無神論者，我們的習慣思維，都偏向於智慧的設計。
  • 通過數學計算表明，我們生活在模擬世界中的概率是接近1
    其他人試圖計算我們成為虛擬實體的機率。現在，一項新的分析顯示，我們生活在基本現實和生活在模擬中的可能性幾乎是均等的。但這項研究也表明，如果人類能夠發展出模仿意識生物的能力，我們成為別人電腦裡的虛擬居民的可能性也將大大提高。（這個結論需要注意的是，對於「意識」這個詞的含義，人們幾乎沒有達成一致意見，更不用說如何去模擬它了。)
  • 如何提高數學計算能力
    提高數學計算能力：一、知識點掌握了，方法會了，計算屢屢出錯，數學學不好。二、很多學生把運算能力低下，歸結成馬虎、粗心。三、小學和初中低年級是打數學的基礎，其中很重要的一項就是計算基礎，等到初中高年級以及高中，就要用到運算能力。四、在中學高年級，老師不可能每一道題都在黑板上一步步演算，很多題，著重點出解題方法和思路。能不能算對，完全取決於自己的運算能力。
  • 不用任何數學方法,如何計算圓面積
    但如果你問他們為什麼，他們很可能並不知道。這是因為圓的面積公式的證明在大多數情況下要麼不直觀，不令人滿意，要麼充斥著積分等高級數學概念。借鑑統計學習和機器學習的核心原理，我們可以使用蒙特卡羅模擬和多項式/二次回歸來創建基於計算的方法，以找到圓的面積公式。
  • 在高中,物理不好全是數學不好的結果嗎?
    不可否認，數學不好對物理學習有一定的影響。高中物理定量計算的題目佔絕大多數，數學不好，計算能力不強，對物理解題有相當的影響。比如根據題目列出了表達式，當要聯立求解的時候，解不出結果。如果這個結果是中間過程的結果對後面的問題很重要，那麼在分析後面的問題時，因為前面的結果解不出來，或解得不對，都會使後續的問題沒發解決。高考大綱明確要求應用數學知識解決物理問題是高考考查的五大能力之一（理解能力，分析綜合能力，邏輯推理能力，應用數學知識解決物理問題能力，實驗能力）。這也從側面反映出數學知識對學習物理的重要性。
  • 世界是確定還是隨機?如何巧妙用數學調查傳染病?
    「薛丁格的貓」是把微觀世界和量子世界的東西擴展到宏觀世界所做的生動描述。薛丁格的貓思想實驗，圖自維基百科薛丁格的貓：在一個盒子中放一隻貓，這隻貓的生死取決於某個原子的衰變。假如該原子發生了衰變，盒子中的毒氣瓶就會被打破，釋放出毒氣，貓被毒死；假如該原子沒有發生衰變，毒氣瓶就不會被打破，貓不會被毒死。
  • 祖衝之如何算出圓周率?用編程還原計算過程,結果令人感嘆不已
    OMG好吧，其實我想問的問題是：祖衝之如何計算出如此精確的數字呢？周長法原理原理就是這樣的，但當時祖衝之是如何測量、如何計算，至今仍是未解之謎！（據考證算盤實在唐、宋時期才出現的）祖衝之計算時使用的是一些小木棍——算籌，且不論測量時如何解決誤差問題，僅是計算時面臨的困難，其難度可想而知。今天，我們還原祖衝之周長法計算圓周率，當然不用再拿尺子去量了，藉助計算機的強大運算能力，學習少兒編程的小朋友使用Scratch編程也能輕易計算出更精準的π。
  • 數學巨人——歐幾裡得,是如何影響世界幾千年的?
    我記得我的數學教育是從數字開始的。首先是家長，然後是我的小學老師，教我如何計算小學數學。然而，2400年前，一切都完全不同，孩子們首先學習幾何。在耶穌之前，幾何學比數字更重要。例如，當西方世界上第一所高等教育機構的創始人柏拉圖回到雅典時，他決定成立「學院」，在那裡它將成為世界的知識中心。
  • 量子技術如何突出數學與物理學的神秘聯繫
    無限量子糾纏可以驗證非常困難的數學問題的證明為何純數學能夠如此充分地揭示物理世界的本質，一直是一個謎。反物質是在保羅·狄拉克（Paul Dirac）方程中發現的，然後在宇宙射線中被發現。在實驗證實前幾年，夸克出現在穆雷·蓋爾曼（Murray Gell-Mann）在餐巾紙上勾勒出的符號中。
  • 數學建模——數學與現實世界的橋梁
    數學建模——數學與現實世界的橋梁鄰水縣石永鎮初級中學：唐用慧學數學有什麼用?難道買菜的時候還要列個方程再來求解計算我到底該付多少錢嗎?相信這個問題一定在很多中學生的腦子裡出現過，至於這個問題的答案，肯定是否定的。
  • 數學為我們驅散烏雲 |物理世界的數學奇蹟
    而牛頓則把研究重心放在了地球及宇宙中物質的運動上，他可以運用數學精確描述這部分上帝造物。最重要的是，他堅持認為，檢驗理論的唯一標準就是考察它對現實世界中最精確的觀測結果給出的解釋有多麼準確。如果理論預測與實驗結果在允許的誤差範圍內不吻合，那麼就應該修正這個理論，或者用更好的理論代替。如今，這一切都聽上去理所當然，但在牛頓那個時代，這還是個激進的觀點。
  • 一年級數學第八單元測試卷,學生計算題出錯多,老師分析原因
    一年級第八單元的學習的主要內容是20以內的加法，學到的方法就是湊十法，分別學習了9加幾，8加幾，7加幾和6加幾的進位加法，試卷中幾乎每道題都沒有離開過計算。在規定的時間內有部分學生根本就沒有完成試卷，結果就可想而知了。這些學生的家長紛紛私信我，覺得一年級才開始，自己的孩子就落後於人，有點焦慮，也有點不甘心。
  • 置身圖靈可計算的世界,探索普適性數學
    1970 年，馬丁·戴維斯對這一問題的優美解法做出了主要貢獻，並且指出這項工作是如何精煉和拓展了圖靈 1936 年經典論文的關鍵部分。最令人震驚的是馬丁關於普適性和不可計算性的看法。從他與合作者的著名工作中得出的結果優雅地闡明了圖靈可計算性在經典層面上的延伸和局限。
  • 計算思維≠編程,該如何培養孩子的計算思維?
    就可以設置語句，如果答題者選擇了A，計算機後臺就會得到「1」的結果，如果答題者沒有選擇A，計算機的後臺就會算出「0」的結果，再加入一些運算公式，比如「1」是多少分數，「0」代表多少分數，最後計算出答題者答出了幾個「0」和幾個「1」，再求出答題者的所有分數之和，把這一套運算的步驟和程序輸入計算機，就是編程。如何去實現這一過程的整個思維過程，就是計算思維。
  • 數學怎樣學最簡單?淺談初中數學快速而紮實地提升計算能力的方法
    我聽到這個故事之後很長時間都覺得不可置信，如此單一的教法能成功地培養出優秀的孩子嗎？後來我自己做了數學輔導老師之後，慢慢理解了這種教學方法的科學性。我無意中發現，中考成績在70分以下的孩子，三角函數那道大題大多不能得分；中考成績在85分以上的孩子這道題大概率能得全分，一道所有備考孩子都練過的普通題有這麼高的區分度，說明決定成績的不是知識，而是能力。我們只要知道初中數學側重哪幾種能力，這幾種能力在具體的哪章可以較好的得到練習，不就可以用「畫蛋」的方法學數學了嗎？
  • 如何把數學計算軟體用於高中教學?看看這個老師的方法
    作為一名計算機科學的倡導者，我喜歡將編碼和計算思維整合到自己的數學課中。最近我就把計算軟體用到了微積分課裡。數學計算軟體常見於學界和業界，一般用於建模過程中的計算和數據分析。這些軟體以符號和數字的形式處理方程式和表達式，如果用在數學課上，可以幫學生節省不少精力。流行的免費軟體有 GeoGebra，需要付費的有Mathematica 和Maple。
  • 圓周率中蘊含宇宙終極密碼?若算出結果,人類會怎麼樣?
    要知道圓周率是數學中非常常見的一個計算公式，我們公國圓周率就可以計算出圓的具體數值，而且圓周率自古就被發現了，距今1500年的中國南北朝著名的數學家祖衝之就發現了圓周率，可以說這是全世界人類中最早計算出圓周率的人，但是由於當時的數學水平不高，祖衝之只能精確到圓周率小數點幾位而已。
  • 數學難題的剋星,3款專業數學計算軟體推薦
    數學計算難嗎？有了這3款專業數學計算軟體，你的數學難題迎刃而解有些同學可能覺得數學很難學，數學題目很難，今天給大家推薦3款數學類的應用程式，相信你用了之後，你對數學會充滿信心。1.另一方面，可以直接輸入函數和點坐標，也就是說，具有處理變量（數字、角度、向量或點坐標）的能力，可以對函數作微分與積分，找出方程式的根或計算函數的極大極小值等。這些特性，解決了傳統教學的難點，可以充分發揮教師的教學思想。GeoGebra幾乎可以完成從啟蒙教育到大學教育中的所有的數學教學。
  • 數學是否有「美感」大腦如何才能感受出數學之美
    但英國倫敦大學神經科學家塞米爾澤克（semil ZEK）的一項研究給出了一個令人驚訝的答案：數學之美，至少對數學家來說，與文學藝術之美是一致的。當數學家看到一個有美感的數學公式時，腹側眶額葉皮質（位於人腦前部）的激活水平相當于欣賞美麗的藝術品或優美的音樂的人。眼眶前額葉皮層是快樂體驗和獎賞迴路中非常重要的一部分。研究還發現，公式美感越強，大腦區域的活動水平就越高。