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巨人的肩膀——數學的模式作者：張勁松，1972年2月出生，人民教育出版社中學數學室 編審，資深編輯。
巨人的肩膀，一般認為是牛頓所說：「如果說我看得比別人更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上（If I have seen further，it is by standing on the shoulders of giants）」。初中學物理時，我印象很深的還有一句話：「就像海邊玩耍的孩子，我有幸撿到美麗的貝殼，而真理的大海我還沒有發現。」也是牛頓所說。
現在很多人講「巨人的肩膀」這個話題，如何理解「巨人的肩膀」？「巨人的肩膀」是什麼？
我的理解是，從狹義角度看，不是所有人都能站上巨人的肩膀，能站上巨人肩膀的都是即將成為更偉大巨人的人。從廣義角度看，任何成就的取得，無論是科技，還是教育，亦或經濟、社會，都是前人基礎上的進步，離開前人的鋪墊，就沒有進步的基礎，都是巨人肩膀上的「一小步」，無數的「一小步」匯集成了人類的一大步。此時巨人既是為人類進步做出貢獻的一個個具象的人，更泛指人類文明發展的所有成果。
緊接著的話題是，我們如何站到巨人的肩膀上？站到巨人的肩膀上，我們能看到什麼？……
毫無疑問，牛頓站在了阿基米德、哥白尼、伽利略、克卜勒、笛卡兒、胡克……等巨人的肩膀上，成了更偉大的巨人；而歐拉、高斯、龐加萊、愛因斯坦、霍金……等又站在了牛頓的肩膀上。前人的肩膀成了後人進步的人梯……
從事數學教育的我們，我們心中「巨人的肩膀」是什麼，肯定有很多答案。《站在巨人的肩膀上》 一書為我們打開了一扇窗口。這本書是由史樹中、李文林主編，龔升、齊民友擔任顧問，是上海教育出版社出版的「通俗數學名著譯叢」系列圖書之一。當時是為了迎接2002年在中國北京召開的國際數學家大會，更好地普及與傳播數學的思想和精神，陳省身先生為本套叢書題詞「開創新世紀的數學文化」。這本書的英文原版《On the Shoulders of Giants—New Approaches to Numeracy》1990年出版，中譯本於2000年出版。
本書以「模式和次序」為統領，講了數學中五個緊密關聯的領域：維數、數量、不確定性、形狀、變化，涵蓋我們數學學科教育中的代數、函數、幾何、統計與概率等內容，給我們提供了「巨人肩膀上」的視角。雖然過去了30年，但書中很多觀點現在讀來餘音繞梁，意猶未盡，對數學教育教學有很大啟發。
一、數學的價值數學是一門古老而常新的科學，它是科學技術的基礎，其應用向幾乎所有的人類知識領域滲透，直接為人類物質生產與日常生活做作出貢獻。數學科學的核心部分高度抽象化，其深奧的數學理論，複雜的數學方法，大大降低了數學的可接受性。但是一個國家數學普及的程度與該國數學發展的水平相應，並且普及是水平提高的基礎。二、數學的根與土壤我們需要深入淺出地介紹當代數學的重大成就與應用，循循善誘啟迪數學思維與發現技巧，富有哲理地闡釋數學與自然或其他學科的聯繫，窺探現代數學發展的概貌，領略數學文化的豐富多彩。我們需要向公眾闡明在眾多的數學分支中根是什麼，土壤又是什麼。按照普通人的觀點，數學一門靜止的學科，它的基礎就是中學數學課程中的算術、幾何、代數和微積分中教的許多知識；而引導數學發展的不是計算和公式，而是永無止境的搜索模式。傳統上把數學描述為數與形的科學。學校強調算術和幾何就深深植根於這種多世紀的認識之中。現在數學不只是討論數與形，而是討論各種類型的模式與次序。數與形——算術與幾何只不過是數學家在其中研究的諸多媒體中的兩個。實際上，一方面我們可以用新的名詞概括當代數學的發展，另一方面，也可以對數與形進行新的解讀，擴大它的內涵與外延，進行內涵式發展。藉助於現代技術，特別是計算機，很多數學成就可以靠真正親眼所見來引導，而像高斯和龐加萊那樣的19世紀數學巨人不得不依賴他們心靈的眼睛來看。我「看見了」總有兩種不同的意義：眼睛看見和內心理解。幾個世紀以來，在數學實踐的階層體系中，心靈支配著眼睛。三、數學教育是泵，不是篩子數學教育爭論的關鍵是教什麼基礎以及如何教，什麼是真正的基礎。數學教育是泵，不是篩子。學校數學常常被看成人力資源的管線（選拔人才），它是兒童時代的經驗流向科學的生涯。數學課程的各層面對應於管子越來越窄的截面，假如他們要在數學和科學教育上有所進步的話，就必須通過這些截面。任何學習上的障礙都會限制水流在整個管線中流動，而這種障礙相當多，就像血液中的膽固醇一樣，數學也會堵塞國家教育的動脈。反之，如果數學課程以多重並行線索為特徵，每一條線索都奠基於適當的兒時經驗，那麼人力資源的流動就更像大樹的根中營養物運動或從廣大流域衝出的水流，而不像一個越來越狹窄的動脈和管線那樣受到局限。四、提供數學的模式不僅僅是水平的極少的幾條線索排列，而是需要更具有垂直的連續性，使得在孩子的教育經驗中能把數學的根與數學的分支聯繫在一起。許多數學都能早在孩子們達到理解代數公式之前，就能通過諸多直觀經驗的活動不拘形式地掌握了，這為科學探索，更正式、邏輯上更精確的數學提供了準備。測量這個問題是基本的，看起來簡單卻微妙，初等卻困難。學生認識到了測量的複雜性，長大以後再碰到通常對數學和統計的錯誤的使用就不再會那麼不加考慮地接受下來。可視化的核心，是利用投影等幾何工具把三維圖象表示在二維的平面上，而這始終是「所看非所見」。開發課程的人需要有先見之明，更需要站在巨人的肩膀上。300年前由歐幾裡得的證明轉變為牛頓的分析；不確定性不是偶然的，因為最終要出現規律性；決定性現象常常顯示出隨機的行為。人們用數學語言幹的事就是描述模式，學習數學主要不在於開發什麼樣的特殊的模式，而在於這些線索中所呈現的充分多樣性和深度，通過鼓勵學生開發那些業已證明具有威力和意義的模式，我們為他們提供廣闊的肩膀，站在肩膀之上，他們就能比我們看得更遠。本文是我概述的本書簡要內容，以及自己的點滴認識。後面我結合對數學課程的認識，數學教材編寫以及數學教學研究，詳細闡釋我對這本書提及的五種模式——維數、數量、不確定性、變化、形狀的理解，期望能夠幫助教師更好地了解數學，認識數學，運用數學，掌握數學，進而在講授數學中，讓學生學好數學。讓學生認識巨人的肩膀，能夠讓他們站上巨人的肩膀，登高望遠，成為未來更偉大的巨人。
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