陶哲軒宣布破解埃爾德什差異問題| 果殼 科技有意思

2021-01-14 果殼網

（Stellasun/編譯）2015年9月17日，2006年菲爾茨獎得主、華裔數學家陶哲軒宣布破解了80年未決的埃爾德什差異問題(the Erdos Discrepancy Problem)，論文預印本已經發表在arXiv.org上。

埃爾德什差異問題由數學家保羅·埃爾德什（Paul Erdős）在1932年提出，指的是在任意只由1和-1組成的無限數列中，能找到項與項間等距的有限子列，使子列各項之和的絕對值大於一個任意大的常數C。和許多數論問題一樣，埃爾德什差異問題描述起來很簡單，但證明難度卻很大。埃爾德什於1996年去世，沒能看到這一問題的證明。

直覺上看，對有些數列而言，這個問題的答案非常簡單——在只有1的數列中，把各項加起來一定能得到任意大的數；對無限數列（-1，1，-1，1，-1，1,...）來說，要找到一個各項之和大於2、而且間隔固定的子數列，取第二位和第四位就行；要找到各項之和大於4的子數列，可以取第二位、第四位、第六位、第八位；無論多大的數，都能在（-1，1，-1，1，-1，1）中找到加起來等於這個數的子數列。但埃爾德什的猜想是，無論這些正負1怎麼排，這個結論都成立：給出一個任意大的常數，就能找到這樣的數列。

這到底是什麼意思呢？假設你和你的朋友玩一個拋硬幣遊戲。擲出正面，你往左走一步。擲出反面，你往右走一步。你知道他在硬幣上做了手腳，出來正面還是反面，隨心所欲他說了算。

但你也有殺手鐧：你可以忽略某些硬幣的結果——只不過不能瞎忽略，而是有規矩：每過固定數量的硬幣就有一個算數，剩下的全不算。具體隔幾個，你在結束的時候說了算。埃爾德什猜想的意義在於，雖然你最後往左還是往右你說了不算，但是你想離出發點多遠，就能有多遠。

陶哲軒的證明說明了埃爾德什的猜想是對的，但他並沒有給出計算這個數值的方法（也就是說，具體怎麼挑還不知道，但這個殺手鐧是存在的）。雖然他的證明還沒有經過嚴格的同行評議，但數學家們對他的結果很有信心。「我絕對相信他的結果，」以色列希伯來大學的數學家吉爾·卡萊（Gil Kalai）這樣說道，但他隨後補充道評議可能需要花上一些時間。

數學家們最近一次向這個問題發起挑戰的行動始於2009年12月，並在2010年組建起了團隊。來自劍橋大學的數學家蒂莫西·高爾（Timothy Gowers）建議用「博學項目」(Polymath Project)解決問題——一個數學家合作的在線平臺（譯註：Polymath Project還參與過對張益唐孿生素數結果的改進，詳情請見《孿生素數猜想之後的故事》）。陶哲軒是幾十位參與者之一。

這次合作在2012年告一段落，但數學家們證明了只要能證明埃爾德什猜想對一類數列成立，就能推廣到普遍情況。這種數列是這樣的：在質數項，數值是隨機的，但其他項的數值是它的質數因子項上的數值的積。比如說，第十五項的數值是第三項和第五項的積。

2014年2月，研究人員們用計算機證明了埃爾德什問題的一個特殊情況——子列的和一定能大於2，但沒能證明一定能大於3. 陶哲軒的證明說明了這個和一定能大於任意大的有限數。

這個證明發表後，數學家們很長一段時間來都沒能取得新的進展。就在這個月初，陶哲軒在博客收到了一條評論，提醒他他正在研究的另一個問題可能與埃爾德什猜想有關。「一開始，我覺得這兩個問題之間的聯繫只是表面的，」陶哲軒在一封電子郵件中這樣寫道；但他很快意識到，將新思路和之前的結果結合在一起，很可能得到問題的證明。不到兩周後，他就發表了論文，並在致謝中感謝了這位評論者——圖賓根大學的數學博士尤威·斯特羅斯基（Uwe Stroinski）。

陶哲軒把論文發表在了高爾管理的開源期刊《離散分析》上。《離散期刊》是9月初創刊的，它提供傳統的同行評議，但由於只接受已經發表在arXiv上的論文，避免了大量的發行成本。「蒂姆（譯註：指前文中的數學家蒂莫西·高爾）的期刊是對論文完全開源出版的一次前景大好的實驗。」陶哲軒說。

埃爾德什和十歲的陶哲軒一起研究數學問題。圖片來源：nature.com

埃爾德什在陶哲軒申請普林斯頓大學的博士項目時曾為他寫過推薦信；他經常對自己提出的猜想提供現金獎勵。他為解決埃爾德什差異問題設下的獎金是500美元。在他去世後，別人接管了這些獎金的頒發。

陶哲軒也被問到如果別人決定把獎金授予他，會不會真的去領獎，他的回答是：「在埃爾德什還在世的時候，傳統做法是不兌現獎金支票；人們一般會把它裱起來。」（編輯：Ent）

*註：文中的比喻不一定正確，歡迎在評論中提出更嚴密（以及更人話）的類比……

 

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    埃爾德什等差數列猜想內容。（圖源：維基百科）2004 年，陶哲軒和本 · 格林證明了該猜想的弱化版本。埃爾德什一生中提出了數千個問題，但哪些數列包含「等差數列」這個問題是他的一生最愛。「我認為很多人將該猜想看作埃爾德什的 NO. 1 問題，」劍橋大學數學系教授 Timothy Gowers 表示。他是 1998 年菲爾茲獎獲得者，曾花費大量時間試圖證明這一猜想。「令人高興的是，一些加性組合研究者有志於探究該猜想。」
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