陶哲軒之後,有人在這個猜想的證明之路上又前進了一步

選自Quanta Magazine

作者：Erica Klarreich

機器之心編譯

編輯：魔王

在著名的埃爾德什等差數列猜想證明之路上，數學界可能又前進了一步。

埃爾德什等差數列猜想（Erdős conjecture on arithmetic progressions），又稱埃爾德什 - 圖蘭猜想（Erdős-Turan conjecture），是由匈牙利數學家、沃爾夫數學獎得主保羅 · 埃爾德什與保羅 · 圖蘭（Pál Turán）共同提出的關於調和發散數列的等差子序列的數論猜想。

該猜想的內容是：

埃爾德什等差數列猜想內容。（圖源：維基百科）

2004 年，陶哲軒和本 · 格林證明了該猜想的弱化版本。

最近，兩位數學家 Thomas Bloom 和 Olof Sisask 解決了這一著名猜想的第一大部分，即整數無窮數列一定包含長度至少為三的等差數列（如 26, 29, 32）。

埃爾德什一生中提出了數千個問題，但哪些數列包含「等差數列」這個問題是他的一生最愛。

「我認為很多人將該猜想看作埃爾德什的 NO. 1 問題，」劍橋大學數學系教授 Timothy Gowers 表示。他是 1998 年菲爾茲獎獲得者，曾花費大量時間試圖證明這一猜想。「令人高興的是，一些加性組合研究者有志於探究該猜想。」

通常，越稠密的數列越有可能包含等差數列，因此埃爾德什提出了一種簡單的數列稠密度測試：求數列中所有數字的倒數和。如果數字多到可以令倒數和發散，則埃爾德什猜想該數列應包含任意長度的等差數列，如等差三元組、四元組等。

最近，來自劍橋大學的 Thomas Bloom 和來自斯德哥爾摩大學的 Olof Sisask 發表論文，證明了這一猜想適用於等差三元組（如 5, 7, 9）。他們證明，只要數列中所有元素的倒數和發散，則它必然包含無窮多個等差三元組（即包含三個數字的等差數列）。

Thomas Bloom 和 Olof Sisask

「這一發現是這麼多年來的標誌性事件，這是一件大事。」加州理工學院 Nets Katz 教授說道。

質數集合的倒數和是發散的。20 世紀 30 年代，Johannes van der Corput 使用質數的特殊結構表明，它們確實包含無窮多個等差三元組（如 17, 23, 29）。

但 Bloom 和 Sisask 的新發現意味著，在證明質數數列包含無窮多個三元組時，無需掌握質數的獨特結構。你只需要知道，質數的數量足夠多，足以使其倒數和發散，而這一點在幾個世紀之前就被數學家們發現了。

牛津大學數學研究所高級研究員 Tom Sanders 在一封郵件中表示：「Bloom 和 Sisask 的研究結果表明，即使質數具備與以往完全不同的結構，它們仍然能夠保證擁有無窮多個等差數列。」

Bloom 和 Sisask 發表的論文長達 77 頁，這需要數學家花費一定的時間和精力認真閱讀和評審。不過，很多人樂觀地認為他們的證明是正確的。「這個證明確實很像樣。」早期工作為這一結果奠定了基礎的 Nets Katz 表示。

Bloom 和 Sisask 的定理表明，只要數列足夠稠密，特定的模式就一定會出現。該發現符合牛津大學 Sarah Peluse 對數學領域的基本口號：「完全的無序是不可能的。」（這句話最初出自數學家 Theodore Motzki。）

被掩蓋的「稠密性」

只要數列足夠稀疏，則使其不包含等差數列是件很簡單的事情。例如，對於序列 1, 10, 100, 1,000, 10,000, …（其倒數和為有盡小數 1.11111…）。這些數字的稠密度極速下降，你永遠無法從中找出一個長度 3 的等差數列。

你或許會思考，是否存在非常稠密但不包含等差數列的數集？

你可以從頭開始嘗試，使數列中所有數字無法形成一個等差數列。最後得到了序列 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, …。第一眼看上去似乎很稠密，但是隨著數字越來越大，該數列變得非常稀疏，例如當到達 20 位數字時，只有大約 0.000009% 的數字出現在數列中。1946 年，Felix Behrend 提出了更稠密的示例，但是它們很快就變得稀疏了，數字到達 20 位時，數列中只出現了全部數字的 0.001%。

現在我們來看另一個極端。如果你的數列包含幾乎所有整數，那麼它必然包含等差數列。

但是在這兩個極端之間是廣闊且神秘未知的中間領域。數列稀疏性達到什麼程度，仍能確保數集包含等差數列呢？

埃爾德什提供了一個可能的答案。他認為倒數和可以用來揭示「稠密性」：最大數字為 N 的數列的稠密性至少逼近 1/N 的位數。也就是說，數列越來越稀疏是可以的，只要稀疏化速度足夠慢就行：如果數列中最大的數是 5 位數，則稠密性至少是 1/5；如果數列中存在 20 位數，則稠密性至少是 1/20，依此類推。

當這一稠密性條件得到滿足時，埃爾德什猜想，該數列應包含無窮多個任意長度的等差數列。

1991 年 6 月，埃爾德什在劍橋大學授課。

1953 年，Klaus Roth 開始證明埃爾德什等差數列猜想。在三年後幫他獲得 1958 年菲爾茲獎的一項工作中，他構建了一個可以確保存在等差三元組的稠密性函數，其稠密性沒有埃爾德什猜想得那麼低，但是隨著數列越來越長，該值趨近於 0。Roth 的定理意味著數列稠密性將最終低於 1%，再低於 0.1%，再低於 0.01%…… 只要稠密性低於這些閾值的速度足夠慢，則該數列必然包含等差數列。

Roth 的方法依賴於這一事實：具備其所選稠密性的大多數數列「想要」包含等差數列，它們包含足夠多不同的數字對，這些數字對的中心值也屬於該數列，從而出現等差三元組。

棘手的部分在於如何將這一屬性從「大多數」泛化到「全部」數列，甚至那些結構儘量避免等差數列的數列。

基於一個高度結構化的數列，Roth 想到使用傅立葉變換映射其「頻譜」，從而蒸餾數列結構。這可以檢測出數列中表現強烈的重複模式，也是 X 光片和無線電頻譜底層技術所涉及的數學知識。

一些頻率出現的時候要比別的頻率更加強烈，這些變體更突出了模式本身，例如強頻率可能表明數列包含更多奇數。如果是這樣，你只需專注於奇數，這樣你就可以得到比最初更加稠密的集合了。Roth 證明，經過有限數量的蒸餾後，可以獲得足夠稠密的數字集合，且它們包含等差數列。

在過去的半個世紀中，Roth 的方法啟發了解析數論領域的許多發展。史丹福大學數學系教授 Jacob Fox 表示，「這些是很有影響力的想法。」

從紙牌遊戲中找等差數列

Roth 的觀點僅對最開始比較稠密的數集有效，否則重複的蒸餾只會使數集衰減。其他數學家逐漸發現一些方法，可以從 Roth 的方法中得到更多，但卻無法解決埃爾德什等差數列猜想中的稠密性問題。Fox 表示，「這似乎是很難跨越的檻兒。」

2011 年，Katz 和 Michael Bateman 發現了在更簡單設置下克服上述障礙的方法：在 Set 紙牌遊戲中，尋找符合三元組模式的紙牌。他們發現，存在一種精確的方式，可以將匹配的 Set 三元組紙牌看作等差數列，而且就像在整數數列中那樣，你可以詢問放下哪部分紙牌才能確保找到至少一個三元組。

這個問題是整數數列對應問題的簡化版模型，因此數學家希望 Bateman 和 Katz 的發現可以為證明埃爾德什等差數列猜想提供突破口，尤其是與其他近期進展結合之後。

在 Bateman 和 Katz 的論文發表後不久，Gowers 啟動了一個大規模線上合作項目——Polymath，進行此類嘗試。

但是，這個項目很快擱淺。「這需要很高超的技術能力，這個項目更適合一兩個為此堅持了很久的人來執行。」Gowers 表示。

幸運的是，Bloom 和 Sisask 出現並做了嘗試。最初，二人受到埃爾德什等差數列猜想中技術之美的吸引，開始各自思考該猜想。「這是我最初涉及的研究問題之一。」Sisask 說道。

2014 年，Bloom 和 Sisask 聯手。2016 年，他們認為自己得到了解決方案。Bloom 甚至在一次講座中宣布了結果，不過後來發現其中一些論據站不住腳。於是他們繼續努力，深入探索 Bateman 和 Katz 方法的內部原理，並最終提出了新的思路，能夠將其觀點從 Set 紙牌遷移到整數範疇。

Katz 表示，二人發表的新論文看起來「萬事俱備」，「我不相信他們之前的論斷，但我相信這次的結果。」

Fox 認為，Bloom 和 Sisask 的工作是「一項偉大的成就」。他和其他數學家急切地想要探索能否將這篇新論文中的技術應用到其他問題中。「我認為，這個方法將會產生巨大影響，」Fox 說道。

當然，這項工作距離完整地證明埃爾德什等差數列猜想還很遠。Bloom 和 Sisask 只證明了等差三元組的部分，還沒有證明更長的數列。

即使二人已經解決掉了等差三元組問題，很多數學家仍將埃爾德什等差數列猜想看作「紅鯡魚」（即為分散注意力而提出的不相干事實或論點）。證明埃爾德什稠密性能夠確保等差三元組的存在很難，數學家懷疑使這一保障失效的稠密性或許更低，可能只比 Behrend 構建的避免等差數列的數集稠密性稍高一點。

「我們並未完全解決該猜想，我們只是對此多了一點深刻認識。」Bloom 說道。

Fox 表示，Bloom 和 Sisask 或許已經竭盡所能地推進當前的方法。「我們需要真正的新工具，能夠更好地挖掘出新東西。」Fox 說道。但是他還表示：「現在或許並不是故事的結局。」