這次我們請到了18級的鄧展望同學來作複變函數論的筆記整理與複習指引。
判斷一個複數項級數是否收斂，不僅可以用上述定義，還可以根據數學分析中的判別法對實部和虛部分別進行判斷，當二者均收斂時，才能說明複數項級數收斂。另外需要注意，絕對收斂說明原級數一定收斂。
另外需要注意絕對收斂的一個性質：
由此可以看出，一致收斂的定義與數分二的定義類似，而且性質也類似，即一致收斂積分可交換次序，且一致收斂求極限也可以交換次序，但除此之外，原函數一致收斂，其各階導函數也是一致收斂的（這與數分上的性質不同，造成這個結果的原因是複數函數的導數可以通過柯西公式來計算。）
以上定理均可以用來判斷是否一致收斂，也是複變函數中用的比較多的判別法，其中第一條要熟記，因為這一條實現了從收斂到絕對收斂的過渡，而比較普遍的方法都是絕對收斂推導出收斂。
泰勒展式重要的意義之一就是建立了解析與全純是同一個概念，即：
根據這個定理我們可以用來判斷某些函數是否存在或者是否唯一。
例：
所以在遇到某些函數是否存在或者證明唯一性的題目需要聯想到這些定理。
對於在平面內某個圓盤內解析的函數，它在這個區域內部具有泰勒級數，但是這並不適用於所有區域，所以我們進一步研究得到如下結論：
這裡需要注意的是，洛朗級數對於不同區域的展開式會有區別，在展開時一定要注意所展開的區域。
在目前我們遇到的奇點類型中，其可分為孤立奇點，非孤立奇點與支點，其中支點是對於多值函數而言的，孤立奇點是針對單值函數而言的，孤立奇點又可以分為可去奇點，極點，本質奇點，其定義如下：
小結：本章定義比較多而且比較雜，在複習時需要理解記憶，相關概念要弄清楚，可以結合書上例題與課後習題鞏固自身理解。
由於留數定理涉及到留數的計算，下面我們來討論留數的計算。
方法四：可以考慮函數的洛朗級數，其1/（z-z0）項係數即為留數
主要應用就是為了計算比較複雜的實函數的積分，例子書上很多，這裡不再一一介紹，主要提以下幾點需要注意的地方，在每道例題的最後都注釋了類似積分的方法，比如：
這對於我們在碰到特定函數時選取積分區域是比較關鍵的，另外再提一個定理：
總結：本章主要是留數的計算與利用留數計算實函數的積分，最後又提到了儒歇定理，這個定理在第六章依然有應用，是一個很重要的定理，希望大家能熟練掌握。
正如前面所說，這個定理的證明就用到了儒歇定理。
以下是與單葉解析函數有關的性質：
其中有單葉函數的性質與判別單葉函數的方法。除此之外，單葉解析函數還具有保角性，由此，單葉解析函數的映射也叫共形映射。
這些性質都很重要，也是用於求所需分式線性變換的方法。
需要注意一些重要的分式線性變換：
（2）單位圓盤的自同構（由施瓦茲引理還可以證明唯一性）
施瓦茲定理是一個很重要的定理，它可以用來說明單位圓盤的自同構映射類型的唯一性。
最後是黎曼映照定理：
總結：這一章很好地體現了複變函數映射的特點，既是難點也是重點，其中比較重要的是求分式線性變換與求所給區域的共形映射，而且需要掌握施瓦茲定理與黎曼映照定理在證明中的應用，複習的時候可以以書中例子與課後習題為重。
總的來說，複變函數的內容很多，很雜，不容易形成體系，所以在複習上要下功夫，在複習時要注意孤立奇點，留數，儒歇定理，施瓦茲引理和黎曼映照定理這些方面，這是後半學期學習中的重點。
再次感謝鄧展望同學的整理
祝各位同學期末考考出理想的成績！