複變函數的最後一個內容是留數和留數定理。從物理的角度講，複變函數講那麼多內容可能就夠用了，從金融工程的角度講，面試可能就最多問問你留數定理是什麼。但是複變函數的內容還可以很深入，這就放到（很久以後）可能會出的【複分析】這個專題去講吧。
上期我們講到在一個收斂圓內由於存在奇點，需要用一個任意大小的圓把奇點挖掉，然後建立一個收斂環，對複變函數在這個收斂環內進行展開，就可以展成洛朗級數
而同時，我們又記得，根據復連通域裡的柯西定理，會有
左右兩個積分的曲線分別是一個大的曲線和一個小的用以包圍奇點的曲線。根據這個，對於右邊我們進行洛朗展開。那麼會有
注意到根據柯西定理，左側的積分的結果除了k=-1的情況以外，其他都是0。在上上期推送中就指出，這個k=-1的情況下的積分結果是，這樣一來，我們的積分就變成
這個，亦即洛朗級數的一項的係數，我們稱為函數在點的留數，記作。這樣剛才的式子就可以表示成
推廣到更多奇點的情況，柯西定理要求我們將n個孤立奇點各自用迴路進行包圍，得到
根據剛才的結論，這其實可以寫成
這就是留數定理，它告訴我們的是迴路積分是被積函數在迴路中各奇點上的留數的和。從這個意義上講，柯西定理本身都只是留數定理的一個推廣，因為在單連通域上沒有奇點的存在，也就沒有相應的留數。（當然我們事實上是由前者推出後者，這種「推廣」的說法就很牽強）
從柯西黎曼條件出發，到建立柯西定理和柯西公式，再到由此推廣出複變函數的泰勒展開和洛朗展開，再推廣到留數和留數定理，整個複變函數的脈絡大概如此。此後還會添加傅立葉變換和拉普拉斯變換這兩種積分變換的內容，但它們不必然基於上面的這個脈絡，是相對獨立的，因此暫時就不做相關研究。
最後就送上黎曼的照片。