三角形角平分線、中線、高的性質

2021-01-08 數學課外知識

三角形的角平分線、中線和高有著許多性質。現在證明如下幾條性質。

1.角平分線性質

如圖1所示，在ABC中，若AD為∠BAC的角平分線，則有AB：AC=BD:CD，反之也成立。

圖1
圖2

證明：過點B作BH//AC，且與AD的延長線交於點H，如圖2所示。易知，∠CAD=∠H

∵HBD∽ACD

∴HB：AC =BD：CD

∵AD為∠BAC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD，又∠CAD=∠H

∴∠BAD=∠H

∴AB=HB

∴AB：AC =BD：CD

反過來，若AB：AC =BD：CD，又由HBD∽ACD，得HB：AC =BD：CD，所以AB=HB，則∠BAD=∠H，又∠CAD=∠H，所以∠BAD=∠CAD，即AD為∠BAC的角平分線。

2.中線性質

如圖3所示，在ABC中，若AD為BC邊上的中線，則有BD：CD=1：1，反之也成立。

圖3

結論顯然，證明從略。

3.高的性質

如圖4所示，在ABC中， BC，AC，AB對應的長分別為a，b，c，又設∠A為ABC的最大角。若AD為ABC中BC邊上的高，則有BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c），反之也成立。

圖4

證明：設CD=x，則BD=a-x，在RtABD和RtACD中由勾股定理得，AD= c-(a-x)，AD= b-x，則有c-(a-x)=b-x，

解得，x=（b+a-c）/2a，a-x=（c+a-b）/2a。

∴BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c）

反之，現已知BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c），要證AD為ABC中 BC邊上的高。

事實上，若AD不是BC邊上的高，則可過點A作AD⊥BC，如圖5所示。這時AD一定在ABC的內部，因為∠A為ABC的最大角，最大角所對的邊上的高一定在三角形的內部（這點可用反證法證明）。

圖5

由剛才的證明可知，BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c），所以易知，D與D兩點是重合的，又由兩點只能確定一條直線可知，AD即為AD，所以AD為ABC上的高。

注意：(i)若在鈍角三角形中，∠A不是ABC的最大角時，則作BC邊上的高會在BC的延長線上，如圖6所示。此時，BD：CD=（b-a-c）：（b+a-c）。

圖6

(ii)若在直角三角形中，∠B=90°，則過點A作BC邊上的高AD時，AD會與AB重合，此時BD=0，易驗證是符合BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c）或者BD：CD=（b-a-c）：（b+a-c），因為在以∠B為直角的直角三角形中，b=a+c。

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