三角形的三條角平分線、中線分別交於一點

2021-01-08 數學課外知識

在三角形中，三條角平分線的交點叫做三角形的內心，即該三角形內切圓的圓心。三角形的三條中線的交點稱作三角形的重心。

在這裡可以拋出一個問題：為什麼三角形的三條角平分線會交於一點？三條中線也會交於一點？注意，一般情況下，三角形的內心和重心是不重合的。以下將給出如下兩個命題的證明。

1.三角形的三條角平分線交於一點

2.三角形的三條中線交於一點

先證命題1，如圖1所示，在ABC中，BD，CE分別為∠ABC，∠ACB的角平分線，BD和CE的交點為O，連接AO。

圖1

∵BD為∠ABC的角平分線

∴由角平分線的性質有AD：CD=AB：BC=c：a，又AC=b，則

又∵在BCD中，CE平分∠BCD

∴BO：OD=BC：CD，而

從而有

∵在ABD中，

∴AB：AD=BO：OD

∴AO為ABD中∠BAD的角平分線

即證得ABC中三條角平分線交於一點。

現證命題2，如圖2所示，在ABC中，連接AO，並延長AO交BC於F，過點B作平行於AC的直線，交AF的延長線於G，易知ADO∽GBO。

圖2

∵由中線的性質有OD：OB=1:2，又ADO∽GBO

∴AD：BG=1:2，D又為AC的中點，即AD：AC=1:2

∴BG=AC

此時易證ACF≌GBF

∴F為BC的中點，即證得ABC中三條中線交於一點。

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