大家元旦快樂啊~好久沒有更新公眾號了，2021年第一天我來水一水吧~
主要是最近物理學的有點累，看看生物和數學放鬆一下腦子，也順便為期末的分子生物學考試複習一下。
眾所周知，除了轉錄、翻譯之外，基因表達的調控對於生命活動也有著至關重要的影響。
操縱子就是一種用於基因表達調控的結構。所謂操縱子，就是一組彼此相鄰、協同調控的基因串，由調節基因、啟動子、操縱基因、結構基因以及終止子組成。
最典型的操縱子就是乳糖操縱子（lac操縱子），它含有三個結構基因lacZ、lacY、lacA，分別用於表達β-半乳糖苷酶、半乳糖苷透性酶、半乳糖苷轉乙醯酶，這些酶有助於細胞利用乳糖。在啟動子lacP的上遊，還有調節基因。基本的結構如下：
乳糖操縱子屬於可誘導的負調控，什麼意思呢？在無乳糖時，調節基因會表達產生阻遏蛋白，這個阻遏蛋白會結合操縱基因，使得RNA聚合酶無法與臨近的啟動子結合，從而使得轉錄水平很低。
但當存在乳糖時，β-半乳糖苷酶會使得部分乳糖反應為異乳糖，異乳糖作為誘導物可以使得阻遏蛋白構象改變，從而脫離操縱基因。這樣，lac基因的轉錄就能進行了，從而細胞便能夠利用乳糖了。反應式如下：
可以發現，這是一個滾雪球效應，一旦有lac基因的表達，就能催化產生更多的誘導物，進而更加促進lac基因表達和乳糖利用。由此我們可以預測，乳糖的利用和誘導物的生成應該具有相同的趨勢。
我們都知道，相比於乳糖，細胞總是會優先利用葡萄糖的，顯然在葡萄糖存在時促進乳糖利用的lac基因的表達會受到抑制。這就是代謝阻遏的正調控[1]。
代謝阻遏的機理是什麼呢？
環化磷酸腺苷酸（cAMP）是其中的正調控因子。cAMP隨著葡萄糖濃度的增加而減少。除了cAMP,正調控因子還有代謝物激活蛋白CAP，二者的複合體cAMP-CAP可以結合到啟動子上遊，募集RNA聚合酶，形成閉合啟動子複合體，並將其轉換為開放啟動子複合體[1]，最終促進lac基因的轉錄。
當葡萄糖水平很高時，cAMP的濃度很低，這樣複合體的濃度也會很低，乳糖操縱子關閉，因此細胞會利用葡萄糖而非乳糖。但當環境的葡萄糖用盡後，cAMP會變多，如果有乳糖的話，便會誘導開啟操縱子，讓細胞利用乳糖。
1937年莫諾發現了著名的細菌二次生長曲線，從實驗上展現了乳糖操縱子的魅力。
下面，我們將從數學角度走進乳糖操縱子，建立數學動力學模型，繪出乳糖利用的曲線。
為了正確表述乳糖利用的水平，我們選擇lac基因表達的一個產物，即半乳糖苷透性酶的濃度Y作為代表。這個酶的濃度越高，E.coli細胞便更能利用乳糖，從而細菌個數增加。
首先我們建立關於抑制蛋白的方程。自由的抑制蛋白能和細胞內部誘導物結合，從而從操縱基因上脫落。根據反應：
設抑制蛋白濃度為R，誘導物濃度為I，由於抑制蛋白是四聚體，我們假設一個單位抑制蛋白能結合n個單位的誘導物分子。則結合物RI和R、nI之間的反應式如下：
k1、k2分別是結合和分解反應中的常數，根據質量作用定律[2]，結合反應速率為
其中平衡常數K是指k2/k1。（推導留作習題答案略）
第二步來構建mRNA濃度變化的方程。mRNA濃度我們記作M。假設細胞平均的操縱子數目為D，操縱子轉錄速率為kM，p為操縱基因沒有受阻遏的概率。同時考慮mRNA存在降解，降解率為rM，則可以得到細胞內mRNA的方程：
這裡面有個p的表達式還不清楚。我們可以用阻遏蛋白與操縱基因結合的半飽和濃度R0來表示這個概率：
同樣我們設翻譯率為kY，半乳糖苷透性酶的降解率為rY，則酶濃度Y的方程為：
最後，還有細胞內部誘導物濃度I的變化。我們認為誘導物TMG在透性酶Y存在時，是從細胞外部通過主動運輸進入細胞後起作用的。這裡認為TMG先和透性酶結合再主動運輸進入細胞，相當於透性酶是個載體蛋白。這個反應為：
其中I下標帶e是指誘導物在細胞外的意思，n是指平均一個透性酶可以和n個誘導物結合幫助其進入細胞。實驗上測定，n=0.6。因此根據質量作用定律，滲透速率為：
但是，更加嚴謹考慮，我們認為誘導物也能通過內外濃度差擴散進入細胞，設擴散係數為c，則擴散速率為c▲I。同樣加上降解率rI導致的降解速率，可以寫出內部誘導物濃度I的變化：
OK，現在我們建模成功！現在，就來一起看看結果是不是和實驗一樣吧！
參考[2]，我們設置參數：D=1.66mpb, kM=5/min, rM=0.756/min，kY=1.8/min，rY=0.022/min，Rt=2mpb，K=2500(微摩爾/升)的平方，rI=0.012/min，c=0.23min，R0=0.001mpb。
用Matlab數值求解微分方程組：
1）先寫一個M文件：
function fy=vdp(t,x)
p=1/(1+(5000/(2500+x(3)^2))/0.001);
fy=[1.16*5*p-0.756*x(1);1.8*x(1)-0.022*x(2);0.25*x(2)*40^0.6-0.012*x(3)+0.23*(40-x(3))];
end
2）數值求解的代碼：
y0=[0;0;2];
[t,x]=ode45('vdp',[0,500],y0);
y=x(:,2);
plot(t,y)
結果：
從結果可以看到，這和實驗上沒有葡萄糖時第二次生長的曲線一致。除此之外，誘導物隨時間變化的曲線也是一樣的趨勢，和我們的分析一致。
最近太忙了，可能下次更新要過上半年再說了......等大四稍微閒下來好好好好寫點東西。
[1] Robert F.Weaver，分子生物學，科學出版社
[2] 葛顥，(美)錢紘，數學動力學模型，北京大學出版社