Jacobi迭代法解線性方程組

2021-02-18 數值分析與有限元編程

當線性方程組的規模比較大時，採用高斯消元法需要太多時間。這時就要採用迭代法求解方程組了。高斯消元法是一個O(n^3)的浮點運算的有限序列，在經過有限步計算之後理論上得到的是精確解(無捨入誤差時)。而迭代法在經過有限步迭代之後一般不產生精確解，迭代法在計算過程中逐漸減小誤差，當誤差小於容許值時停止迭代計算。方程組的係數矩陣是嚴格對角佔優矩陣時，迭代總是收斂的。

●Jacobi迭代法

對於方程組3u+v=5，u+2v=5，將其改寫為如下的形式

由於方程組的係數矩陣是嚴格對角佔優矩陣時，迭代一定收斂。使用初值[u0，v0]=[0，0]開始迭代，以下是迭代過程：

繼續迭代過程最終會收斂到解[1，2].這個迭代過程就是Jacobi迭代。

對於方程組u+2v=5，3u+v=5，由於方程組的係數矩陣不是嚴格對角佔優矩陣時，因此迭代不收斂。來看迭代過程：

設D表示係數矩陣A 的主對角部分，L表示A的主對角線下方部分，U表示A的主對角線上方部分。則A=D+L+U，AX=b可改寫為

對於上面的方程組3u+v=5，u+2v=5，寫成矩陣形式

迭代格式為

這與之前的迭代格式是一致的。

Fortran原始碼

☆☆☆  往期相關  ☆☆☆

嚴格對角佔優矩陣

高斯消去法解線性方程組及MATLAB實現

高斯消去法的算法改進

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