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第13講 隱函數與參數方程的導數、相關變化率
例題與練習題
【注】如果公式顯示不全，請在公式上左右滑動顯示！
練習1：設 是由方程 確定的隱函數，求該曲線在 處的切線方程.
練習2：設 是由方程 確定的隱函數，求 .
練習3：求下列函數的導數 .
(1)；
(2), , ；
(3)；
(4).
練習4：設 ，求其反函數的導數.
練習5：設由極坐標方程 確定的曲線在 處的切線的直角坐標方程.
練習6：求下列函數的二階導數 .
(1)
(2)且 .
練習7：設 求 .
練習8：設有一直細杆的質量分布為均勻，若該細杆的長度為 ，質量為 ，則該細杆的線密度（即單位長度上的質量）為 ．今有一長度為 、質量分布非均勻的細杆，其質量分布函數為 ，求其在任一點處的線密度．
練習9：一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升，其速率為140m/min，當氣球高度為500m時，觀察員視線的仰角增加率是多少?
練習10：有一底半徑為cm，高為cm 的圓錐容器，現以25 cm /s 的速度自頂部向容器內注水，試求當容器內水位等於錐高的一半時水面上升的速度.
練習11：已知一個長方形的長 以 的速率增加，寬 以 的速率增加，則當 , 時，它的對角線增加的速率為多少？
練習12：現有甲乙兩條正在航行的船隻，甲船向正南航行，乙船向正東直線航行．開始時甲船恰在乙船正北 40 km處，後來在某一時刻測得甲船向南航行了 20 km，此時速度為 15 km/h；乙船向東航行了15 km ，此時速度為 25 km/h ．問這時兩船是在分離還是在接近，兩者之間間隔距離變化的速度是多少 ？
【注】參考解答一般僅是提供一種思路上的參考，過程不一定是最簡單的，或者最好的，並且有時候可能還有些許小錯誤！希望在對照完以後，不管是題目有問題，還是參考解答過程有問題，希望學友們能不吝指出！如果有更好的解題思路與過程，也歡迎通過後臺或郵件以圖片或Word文檔形式發送給管理員，管理員將儘可能在第一時間推送和大家分享，謝謝！
例題與練習參考解答
【注】如果公式顯示不全，請在公式上左右滑動顯示！
練習1：設 是由方程 確定的隱函數，求該曲線在 處的切線方程.
【參考解答】：對方程兩邊同時關於 求導數，得
由此解得
由點的坐標，代入 ，得 . 故所求切線方程為
即 .
練習2：設 是由方程 確定的隱函數，求 .
【參考解答】：【思路一】對已知等式兩端關於 求導，得
解得
對上式繼續求導，得
代入 的表達式，整理得
【思路二】對已知等式兩端依次關於 求一階、二階導數
兩式消去 ，得
練習3：求下列函數的導數 .
(1)；
(2), , ；
(3)；
(4).
【參考解答】：(1)對等式兩端取對數，有
由複合函數求導法則，得
代入函數表達式，得
(2)對等式兩端取對數，有
由複合函數求導法則，得
代入函數表達式，得
(3)對等式兩端取對數，有
由複合函數求導法則，得
代入函數表達式，得
(4)對等式兩端取對數，有
由複合函數求導法則，得
代入函數表達式，得
練習4：設 ，求其反函數的導數.
【參考解答】：【思路一】由於
故由反函數求導法則，得
【思路二】隱函數求導法則，視 ，對等式兩端關於 求導，得
解得 .
【思路三】參數方程求導. 方程可以用參數方程描述為
故由參數方程求導公式，得
練習5：設由極坐標方程 確定的曲線在 處的切線的直角坐標方程.
【參考解答】：由直角坐標和極坐標的關係，可得曲線的參數方程為
代入 ，得點的坐標為 . 於是由參數方程求導公式，得
代入 ，得
所以切線的直角坐標方程為
練習6：求下列函數的二階導數 .
(1)
(2)且 .
【參考解答】：(1)【思路一】直接公式法.
則由參數方程的二階導數公式，代入得
【思路二】直接求導，得
繼續由複合函數求導法則，對上式關於 求導，得
(2)【思路一】由複合函數求導和反函數求導法則，得
繼續關於 求導，得
【思路二】直接由參數方程求一階、二階導數公式，由於
故由公式直接得
【注】：應用公式法要求 三階可導.
練習7：設 求 .
【參考解答】：【思路一】由題設可知， 時， , . 對第二個等式兩端關於 求導，其中 都為 的函數，故得
解關於 的方程，得
從而由參數方程求導公式，得
【思路二】直接對第二個等式兩端關於 求導，得
其中
代入 , , ，得
即
練習8：設有一直細杆的質量分布為均勻，若該細杆的長度為 ，質量為 ，則該細杆的線密度（即單位長度上的質量）為 ．今有一長度為 、質量分布非均勻的細杆，其質量分布函數為 ，求其在任一點處的線密度．
【參考解答】：取小段 ，則該小段的平均密度為
因此，在 處的線密度為
練習9：一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升，其速率為140m/min，當氣球高度為500m時，觀察員視線的仰角增加率是多少?
【參考解答】：設氣球上升 分鐘後的高度為 ，仰角為 ，則
兩端關於 求導，得
由題設知 . 當 時， , . 代入上式，得
即所求視線的仰角增加率是 (rad/min).
練習10：有一底半徑為cm，高為cm 的圓錐容器，現以25 cm /s 的速度自頂部向容器內注水，試求當容器內水位等於錐高的一半時水面上升的速度.
【參考解答】：設時刻 時容器的水面高度為 ，水的體積為 ，則
兩端關於 求導，得
由題設可知 ，故
當 時，代入得
練習11：已知一個長方形的長 以 的速率增加，寬 以 的速率增加，則當 , 時，它的對角線增加的速率為多少？
【參考解答】：設 , ，由題意知，在 時刻 , ，且 ，設該對角線長為 ，則
兩端與 求導，得
代入函數值、導數值，得
解得 .
練習12：現有甲乙兩條正在航行的船隻，甲船向正南航行，乙船向正東直線航行．開始時甲船恰在乙船正北 40 km處，後來在某一時刻測得甲船向南航行了 20 km，此時速度為 15 km/h；乙船向東航行了15 km ，此時速度為 25 km/h ．問這時兩船是在分離還是在接近，兩者之間間隔距離變化的速度是多少 ？
【參考解答】：設在時刻 甲船航行的距離為 ，乙船航行的距離為 ，兩船的距離為 , 則
將上式兩邊對 求導 ，得
當 , 時， ．且有 , ．因此，
則 ，即兩船是相互離開的，並且速度為 ．
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