本文經授權轉載自微信公眾號：量子學派（ID：quantumschool），
作者：李韻閣
本文節選自《人類最美的54個公式》
賭王何鴻燊接手葡京賭場時，業務蒸蒸日上，但理性的賭王仍然忐忑，請教「賭神」葉漢：「如果這些賭客總是輸，長此以往，他們不來了怎麼辦？」葉漢笑道：「一次賭徒，一世賭徒，他們擔心的是賭場不在怎麼辦。」
葉漢說的只是心理層面，現代賭場程序方面的設計，比葉漢當年要縝密得多，賭場集中了概率、級數、極限方面的數學經驗。一個普通賭徒，只要長久賭下去，最終一定會血本無歸，所謂的各種致勝絕技，除了電影裡的周星星，現實裡的周星馳都不信。
賭徒永遠不明白，與自己對賭的不是運氣，也不是莊家，他們是在與狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的大師對決數學，贏的勝率能有多大？
我們先說一個最簡單的賭博遊戲：賭運氣猜硬幣。
規則是這樣的，擲硬幣，正面贏反面輸，贏了可以拿走一倍的錢，輸了會賠掉本金，你玩不玩？你可能覺得，唉，這遊戲不錯，公平！恰好運氣也不錯，第一把贏了100元！你高興壞了，這時候莊家跟你說，你看你也贏了這麼多，我呢，辛辛苦苦搭個場子，最後什麼都沒撈著，要不這樣，你贏了，就給我留下2％，就算是救濟救濟老哥，給捧捧場！你一聽，2％，才這麼點，拿去吧，不差錢！好了，這事就這麼定下來了。
然而你做夢都想不到的是：就是這小小的2％，最後卻讓你輸得傾家蕩產、家破人亡。
這小小的2個點的贏的概率貌似不起眼，但配上「大數法則」，就成為了賭場賺錢的利器！「大數法則」是數學家伯努利提出來的，說的是假設n(a)是n次獨立重複實驗中發生a的次數，p是每次實驗發生a的概率，當n足夠大的時候，對任意正數ε，有lim{[|(n(a)/n)| p]<ε}=1，公式這麼複雜，99%的賭徒都看不懂，看不懂沒關係，我們只看結果，最終莊家贏到的錢=0.02*a。
莊家賺的錢最終只跟玩家下注大小有關！這也就是我們常說的「流水」，只要玩家不停地玩，莊家就會不停地賺！而不管玩家是輸是贏，莊家始終是贏的！為什麼賭場有「最小投注額」，因為擴大「流水」才能將利潤最大化！
所以別以為自己有多聰明，你要慶幸自己玩得不夠久而已，十賭九輸正源於此。
我們再進一步，就算雙方的概率均等，你仍然是一個輸家，這裡涉及到「無限財富」和「賭徒輸光定律」，這個定理在現實生活中有許多應用，如「姓氏消亡」「線粒體夏娃假說」，在概率均等的情況下，誰的資本大，誰的贏率高。
你和我對賭，你我各有5塊錢，輸光為止。那麼你贏的概率是50%，輸的概率也是50%。
你和我對賭，你有5塊錢，我有10塊錢，輸光為止，那麼你贏的概率就只有33.3%，而輸的概率有66.7%（這裡涉及到高斯的概率論和泰勒的級數論），後面隱藏的就是賭場大BOSS凱利公式，後面小節裡將詳加表述。
對於小散戶，賭場一般可以認為財富是無限多的，你贏不垮它，它卻能吃了你。在賭場老闆的眼裡，世界只有兩種人：一種現在是窮鬼，一種未來是窮鬼。
「無限財富定律」也解釋了賭場設置最大投注額原因。不是老闆好心保護賭徒免遭破產，只是老闆為了保護自己設置的安全屏障，想像下萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個幾百億進去，那賭場老闆真的要哭了，雖然這種事情不太可能發生，但也不能不防，所以賭場根據自己的財富能力設計最高投注額，也就是為了抵抗「無限財富定理」！
凱利公式在高級賭徒的世界裡大名鼎鼎，那什麼是凱利公式，我們先看一個例子：
有一個簡單2賠1的賭局，扔硬幣下注，硬幣為正面則得2元，如果為反面則輸掉1元，你的總資產為100元，每一次的押注都可投入任意金額。
你會怎麼賭呢？
如果你是冒險主義者，你可能會想，要玩就玩票大的，一次性把100元全壓上，幸運的話，一次正面就可以獲得200元，又是一段值得炫耀的賭史；可是，如果輸了得把100元資產拱手獻給對方，你就一無所有，好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策。
如果你是保守主義者，你可以會想，謹慎點，百分之一慢慢來。你每次只下注1元，正面贏2元，反面輸1元。玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元，自己一次才贏2元、10次才能贏得20元，後悔已經錯過幾個億！
100太多1塊太少，該投入多少比例下注？普通賭徒看似無解，但凱利公式告訴你答案是25%！
讓我們來看看凱利公式的廬山真面目：
f* =（bp-q）/ b
在公式中，各參數意義為：
f* = 應投注的資本比值
p = 獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）
q = 失敗的概率，即1 - p（也就是硬幣反面的概率）
b = 賠率，等於期望盈利 ÷可能虧損（也就是盈虧比）
公式上面的分子bp-q代表「贏面」，數學中叫「期望值」。
什麼才是不多不少的合適賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。回到前面提到的例子中，硬幣拋出正反面的概率都是50%，所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5，而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損，賠率就是2，我們要求的答案是f，也就是(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。
拿出資金的25%來進行下注，才能使賭局收益最大化。
賭場操盤者的每一次下注的時候，都會謹記數學原則，而作為普通賭徒，除了心中默念「菩薩保佑」外，哪裡知道這後面的數理知識。
所以，就算你贏得了財神爺的支持，但你也永遠贏不了「凱利公式」。
所有的賭場遊戲，幾乎都是對賭徒不公平的遊戲。
但這種不公平並非是莊家出老千，現代賭場光明正大地依靠數學規則賺取利潤，從某種意義上來講，賭場是最透明公開的場所，如果不是這樣，進出賭場不知有多少狂命之徒，何鴻燊早怕九條命都不夠。
凱利公式不是憑空設想出來的，這個數學模型已經在華爾街得到驗證，除了在賭場被奉為正神，也被稱為「資金管理神器」，是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛，巴菲特依靠這個公式也賺了不少銀子。回歸到賭場討論這個公式，根據f = (bp-q) / b公式結論，期望值(bp-q)為負時，賭徒不具備任何優勢，也不應下任何賭注。這種賭博遊戲，要下負賭注，也就是說你不如自己開個賭場當莊家。
的確，世界上有為數不多的「賭神」，他們當中有資訊理論的發明者香農，數學家愛德華·索普，路徑理論的創始人蒙特卡羅等，他們通過一系列複雜的計算和艱深的數學理論，把某些賭戲的贏率扳回到50％以上，例如21點靠強大的心算能力可以把概率拉上去。但就憑你讀書時上課打瞌睡輸了只知道倍投翻本的可憐知識，以及九九乘法表的那點算力，還是先老實讀完以下3條準則。
1、期望值（bp-q）為0時，賭局為公平遊戲，這時不應下任何賭注。
2、期望值（bp-q）為負時，賭徒不具備任何優勢，也不應下任何賭注。
3、期望值（bp-q）為正時，這時按照凱利公式投注賺錢最快，風險最小。
其實最終結論只有一個：除了100%贏，任何時候都不應下全部賭注，即使贏的概率高達99.9%。
沒有誰能說服一個墮落的賭徒，因為這是人格的缺陷。
但如果你還是一個具有理性精神的人，別再迷戀所謂的運氣。
賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場後面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的大神。
你怎麼可能贏得了莊家？
論理性，沒有人能比賭場老闆更理性。
論數學，沒有人能比賭場老闆請的專家更精通數學。
論賭本，沒有人能比賭場老闆的本錢更多。
如果你想真正贏得這場賭局，法則只有一個：不賭。
本文轉自公眾號 量子學派——專注於自然科學領域（數理哲）的教育平臺
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