作者 | 李邦河（中國科學院數學與系統科學研究院研究員）編者按：李邦河院士於 2009 年 4 月在中國數學會廈門學術年會上榮獲「華羅庚數學獎」。本文是李院士在這次年會上所做的公眾報告，他在報告中談到一個重要的思想：數學玩的是概念，而不是純粹的技巧。因為中小學數學裡面的概念比較少，所以就在一些難題、技巧上下功夫，這恰恰是捨本逐末的做法，值得所有的數學教育工作者深思。
非常感謝市科協和我們的校領導給我這個機會，在這裡和同學們見面，一起交流一下對數學的看法。首先我的題目是數的概念的發展，我猜想，相當一部分同學對這個題目不感興趣，原因就是大多數人在中學學習數學時，會認為數學重要的不是概念，重要的是解題，比如幾何題要會畫輔助線，還有數學競賽中比較難的題目。那麼數的概念是什麼呢，大家知道有理數啊，一看就知道了，絕大多數同學不會去記這個定義，什麼是有理數的定義？幾何的概念也不易被重視，因為什麼是三角形，正方形，矩形，菱形，一看就知道。中學數學容易給人一種錯覺，概念是不重要的，對於數學重要的是技巧。很多人上了大學，哪怕是到了數學系也抱著這種看法。
根據我上大學以後搞數學研究的經驗，數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！熟能生巧，數學競賽的人都是要培訓的，巧都是學來的。數學概念是人類智慧的結晶，首要表現在概念的形成。我們現在覺得自然數 1，2，3，4 很自然，但人類發展歷史中能認識「1」是非常不簡單的。早期人們並不知道「1」，「1」是從大量的「一頭牛、一頭羊」 中抽象出來的。所以從哲學的觀點去想，「1」是了不起的，而「0」更是了不起。中國古代沒有 0 這個數字，用算籌表示數字，一根筷子是 1，兩根筷子是 2，用空著的位置表示 0。但 0.101 怎麼表示，我不知道。最早是印度數學家發明 0 的，認識到 0 也是個數，要用圈這個符號來表示，是很了不起的。負數更是了不起，西方認識到負數是非常晚的，大概十四五世紀。歐洲數學中幾何出現比較早，歐幾裡得幾何是希臘時期，公元前二三百年就有幾何，但沒有負數實數概念。當時如果比出來不是有理數的話還不能接受，叫不可公度；負數的觀念這時也沒有。但我們中國在公元前二三百年就有了負數概念，西漢時期《九章算術》有解線性方程組的消去法的完整步驟，就出現負數。中國古代對無理數的概念在理論上是沒有的，但在實際上是有的，小數後面多少位都行。比如 這個數，祖衝之曾算到 3.1416，並知道可以無限往下算，這就有了無窮逼近的思想，極限的觀念基本上有了，但是概念上並沒有明確提出。無理數概念的明確提出是到了微積分的時期，這時才對實數做了一個完整的描述，由柯西序列的等價類來定義，這個時候實數理論才完備。真正搞數學的人知道要弄清楚這個也並不容易，進入高等數學後概念比較多，對概念不重視的人，學多了就糊塗了。微積分的概念還不是很多，但學高等代數、線性代數裡面就有很多概念，如果不重視基本概念，對於知識爆炸的大學數學，你是學不好的。微積分裡最大值最小值，微分中值定理你有沒有記得很清楚，會不會用，泰勒展開的麥克勞林餘項，有沒有記著？要用基本的東西去解決問題，而不是玩技巧，可以說用到某個定理就是最大的技巧。中學數學裡概念就很少，只能出很難的題，來看誰的水平高。到大學裡重要的則是基本概念，這個東西掌握得很透，才能達到高水平。到了研究生之後，基礎數學裡面的代數數論、代數拓撲、微分拓撲裡頭，概念更是爆炸，都很難理解，不下功夫是不行的，因為對象很複雜。我希望喜歡數學的人千萬要重視基本概念，不僅要記住，還要通過具體的例子來深入地理解。
那麼什麼是概念呢？概念是一個抽象的東西，它包含了大量的具體的東西。一個概念越抽象涵蓋的具體的事物越多，即外延越廣。比如，剛剛講的「1」這個例子，它可以涵蓋一個蘋果、一個梨、一頭牛。自然數是數學裡最簡單的了，可見我們的起步就很抽象。抽象和具體也是相對而言。1，2，3，4 等對於具體事情來說是抽象的，而對於我們數學來說，又沒有比它更具體的。有理數比整數複雜了一點，無理數更複雜，它是無限不循環小數，但這對於我們搞數學的來說都很具體。我們每上一個臺階，以前抽象的東西就具體了。客觀世界非常複雜，有時候你不得不抽象，否則描述不了。有理數、無理數之後是複數，這時候已經到了高斯的時代，在牛頓、萊布尼茲之後的時代還接受不了。首先是，，這個 ，開始大家都不承認它是數。高斯畫出 軸， 軸，用 表示一個向量的時候，這就比較具體了，大家才覺得可以接受。接受之後，人們發現它很有用，有很多值得研究的，於是有了大量研究。複變函數論中的留數定理，在計算定積分時將實數延拓到複平面上，就可以把原來在實軸上解決不了的定積分算出來，這對於熱愛數學的人來說就會覺得太神奇了，這都歸功於複數的概念。再發展到後來就是四元數，就是 ，，，，，，但是 。在中學時人們學交換律、分配律可能覺得毫無意思，因為感覺總是成立。可是這並不總是成立的，到四元數時乘法交換律便不成立了。然後到八元數，八元數就是八個實數形成的一個數，對八元數乘法結合律就不成立了。這個時候你才知道數的結合律有多寶貴，是多麼好、多麼可愛的性質。四元數八元數還算具體的，到了大學裡，大家還要學「抽象代數」，那個「數」就亂套了，任何對象都可以是數，這個數隻要有個加法或乘法就夠了。乘法滿足結合律，有單位，有逆元素就叫群了。那裡面的元素是不是數，都認為是一樣的。整數在加法之下也構成加法群。所以，群的元素可以說是與整數、有理數是一樣的，這就使我們從更廣的概念理解什麼叫數。
數學研究的東西，從大的方面來說，裡面就有一對矛盾：一邊是數，一邊是形。形就是幾何圖形。最大的抽象逃不出數、形這兩個東西。凡是可以進行代數運算的，比如群可以算，矩陣可以乘和加，都可以認為是數。而形就是幾何圖形，什麼流形，地球，皮球，稜台，環面，三角形是形。三角形的邊長呀，角呀，這是數。所以說，整個數學就是把形和數膠在一塊，互相轉化，互相表示。數學基本的矛盾就是數和形的矛盾。有了抽象代數以後，我們的數的概念大大擴充了。對群感興趣的人有物理學家、化學家、數學家。物理學家離不開群，比如到了原子物理，群就是物理學家的有力武器。這也是我們數學對其他學科的貢獻。比群複雜的有環、域還有代數，在抽象代數裡都可以學到。域，加減乘除都有，最簡單的域只有 0 和 1 兩個元素，但是它有加減乘除，加法、乘法都滿足交換結合，分配律。這些在中學數學裡看起來不起眼的東西，使我們能夠推廣，推廣之後使得兩個元素便構成一個域。對任何一個質數 ，，，，，，就構成一個域。這是非常有用的。
還有，比如 Clifford 代數，它是這樣的，，；，
那麼可除代數是否只有一、二、四、八元數？有沒有其它維的呢？當年的數學家，肯定對很多 都進行了試驗，最後結果就沒有發現別的。這是因為人們試驗得不夠，還是因為它事實上就沒有呢？我們等會再說。
上世紀六十年代，引進了非標準分析，在非標準分析裡面，有非標準分析的實數域，複數域。這些概念是數的概念重要的發展。當年牛頓、萊布尼茲發明微積分時，是有無窮小的概念的想法的。牛頓的流數，一會是 0，一會不是 0，說不清楚，而萊布尼茲就說有種數叫無窮小，它比任何數都小。所以說當年發明人是使用了無窮小無窮大這個概念的，但是這個概念不嚴格。所以，後來數學發展中，就不採用無窮小概念了，用
我現在要講為什麼只有一、二、四、八元數。我們要來證明。民間數學家中有人研究這個，我以前碰到一個人說他搞出來一個三元的，我告訴他不可能，這是為什麼呢？ 維歐氏空間 ：其中 ，，，，有內積 ，有長度 ，令 第位， 元數要求乘法滿足，，有單位元 。若 ，則 ，所以由 到 的映射是 的正交變換。因此 ，，…， 是相互垂直的。三維的時候假如它有這樣一個乘法，就有兩個互相垂直且連續變化的向量走遍整個球面。這個可能嗎？退一步說，在球面上每點放一個不為零的向量，讓它連續變化，這有沒有可能？不知道的話猜想也行。搞數學是要靠猜想前進的，這才有動力。(這時聽眾中有人認為可以) 有同學說可以，不是整個地球，光是赤道一圈可以，但這個能不能擴充到整個球面上？赤道上可以，跑到北極就會有問題，就會有奇點。所以這位同學的這個方法是不可行的。這對於一個圓周可以，比如汽車可以繞赤道轉一圈，汽車在 45 度緯線圈也可以，但跑到北極的時候只有一點了，那點就不能定義一個方向。現在我來告訴大家，答案是不可能。因為任何時刻，地球上總有一點是沒有風的。球面上不可能存在一個處處不為零的向量場是連續的變化的，這是拓撲學的一個結論。球面的歐拉示性數，即分割成三角形後的頂點數-邊數+面數，是 2，與把球面如何分割成三角形無關，一定是 2，這叫拓撲性質。反過來說，環面，就是輪胎，把它分成三角形，計算歐拉示性數是 0。剛剛說到的圓周的歐拉示性數是 0。有個定理：一個流形上承載著這樣的非零的連續向量場的充分必要條件是它的歐拉示性數是 0。所以，由這個定理，球面上不可能有，環面上有。這就顯示了抽象數學的威力。不可能是很深刻的，我們是由定理證明的。可能的話造出來就完了，不可能的話靠試驗是不行的，不可能的證明一般是很深刻的。我們找出向量場與歐拉示性數的關係，因為歐拉示性數不等於零，就給出這個不可能的證明。為什麼只有一、二、四、八元數呢？就我所知這一點需要用到上個世紀六十年代以後的定理才能證出來。四元數、八元數不僅要求連續向量場存在，而且要求 個線性無關的單位正交的切向量場。就是說假如有乘法滿足 ，則必然存在著 維空間的球面上 個相互垂直的單位向量場，而且是連續變動的。這樣的 只有 2，4，8，其他維數不可能。於是這就告訴我們的民間數學家們不用再忙了，這是數學上證明了不可能的。還有三等分角的問題，華羅庚早說過這是不可能的，很多民間數學家們以為是因為長期得不到才這麼說的，其實不是的，這是經過證明了的。
下面我們回顧一下它們的應用。實數是無處不在的，複數在工程上應用很廣，比如電學中的交流電，量子力學，量子場論等離開 都是不行的，我相信非標準分析有一天也會和複數一樣應用廣泛。長度為 1 的四元數可以用來表示所有旋轉，但是是二對一，四元數在工程上也很有用。有很多旋轉，比如說機器人製造時臂的旋轉，三維的旋轉群是用 3×3 的矩陣表示的，非常不方便，而用四元數表示後，參數就簡單了。Clifford 代數對拓撲學也很重要，在物理上也很有用。李洪波教授就把Clifford 代數用於吳先生的幾何定理機器證明。
回答提問部分：
我先講到這裡，有什麼問題大家來共同討論。我還是認為概念很重要，大家有什麼感想可以交流。
問題回答：
我覺得生活中用初等數學就夠了。高深數學的發展，好比相對論，在生活中有什麼用，也沒有用。一般人小學數學學得好就夠了。對於我們大學生就不一樣了，比如相對論對原子物理，加速器等的指導意義是不可低估的。原子物理，原子核，原子彈，核電都離不開高深的數學知識。經濟學家現在就很重視數學，一個國家的經濟研究所用的數學知識是很複雜的。生活中的吃住就很簡單，但我們有更高的追求，比如太空的探索。我們追求幸福，要身體健康，精神快樂，我們看著我們的神六上天，大家都很興奮，我想這對我們的身體健康也很起作用。再比如我們有個大的發現，也很開心。而歷史證明，任何科學發現都有用，認識了客觀世界，你才能駕馭世界。
你的想法可以回去用嚴格的數學語言寫一下，肯定會發現問題的，但是寫的過程你也能得到很好的鍛鍊。
數學美不美，比如我剛講的，地球上任何時刻都有一處是風平浪靜的，這是我們數學家證明的定理，這跟詩人僅僅出於感受的感嘆相比怎樣，是不是很美？所以我說數學有不可改動的美。數學的推理，只要大前提正確，推理過程沒錯，結論一定是正確的。比物理更美，物理的定律是可以推翻的。物理適用的範圍經常被推翻，而數學的範圍是一開始就定了，什麼條件下成立的。
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