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今天分享兩位國賽選手的教學設計及點評，請大家詳細閱讀，認真討論，積極思考，相信你會產生自己的想法。
教無定法，開始！
「直線的傾斜角和斜率」教學設計金華市艾青中學 阮彩香
一、內容和內容解析
內 容：直線傾斜角與斜率的概念，直線的斜率公式．
內容解析：本課是人教版數學必修2第一節直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何內容的開始．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，是用以坐標法研究直線及其幾何性質的基礎．本課不僅要理解兩個概念、得到一個公式，更要了解幾何問題代數化的過程，初步滲透解析幾何的基本思想方法．本課有著開啟全章，奠定基調，滲透方法的作用．
傾斜角是從幾何的角度描述了直線傾斜程度．課本結合具體圖形，在探索確定直線位置的幾何要素中給出直線傾斜角概念．
斜率是從代數角度描述了直線傾斜程度．課本藉助「坡度」引出直線斜率的概念．定義給出了直線的斜率與傾斜角的關係，溝通了刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示的關係．
直線可由兩點來確定，就是說，任給直線上兩點P1(x1, y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2），那麼這條直線唯一確定，進而它的傾斜角與斜率也就確定了，這說明直線的斜率與這兩點的坐標有內在聯繫，因此直線的斜率就可以用直線上兩點的坐標來表示，這就是經過兩點直線的斜率公式．
「坐標法」與數形結合思想是本課內容蘊含的核心思想．
教學重點：直線的傾斜角及斜率公式．
二、目標和目標解析
目 標：理解傾斜角的概念，明確確定直線的幾何要素．理解斜率的定義和公式，經歷幾何問題代數化的過程，了解坐標法思想．
目標解析：
在平面直角坐標系中，結合具體的圖形，探索確定直線位置的幾何要素，引出直線的傾斜角概念，明確傾斜角的取值範圍．
藉助「坡度」概念引出斜率的概念，讓學生體驗數形結合思想和轉化思想的意義和價值，發展學生對變量數學的認識．
初步了解坐標平面內的圖形的幾何特徵是如何進行量化和代數化的,了解「坐標法」．
三、教學問題診斷分析
兩點確定一條直線是學生知道的，如何認識直角坐標系這一「參照系」下確定直線的幾何要素，對學生來說有點困難．所以在教學過程中可以引導學生發現兩點確定的其實是直線上的一點及其方向，再通過對直線方向的正確描述的探討，形成傾斜角的概念，明確一點和一角是確定直線的幾何要素．
引入斜率的概念時，教學中可充分利用學生已有的知識（坡度概念），引導學生把這個同樣用來刻畫傾斜程度的量與傾斜角聯繫起來，並通過坡度的計算方法，引入斜率的概念．知道傾斜角和斜率都可以刻畫直線的傾斜程度．
探究已知兩點求直線的斜率公式,這既是這節課的一個重點，又是後繼內容（直線的方程）學習的一個要點．事實上，它揭示了同一直線上的點所具有的一般規律：過任意兩點確定的傾斜角是相同的，為學生學習直線方程做了鋪墊，同時說明為什麼有了直線的傾斜角，還需要引入斜率這個概念的必要性．這一點學生在後繼內容學習的過程中會慢慢地體會到．由傾斜角到斜率，再對斜率的坐標化，這正是解析法思想的所在．要注意的是要通過對在坐標系下的直線的四種位置及P1、P2兩點位置順序的討論，滲透分類討論的思想．
教學難點：
傾斜角概念的形成，斜率概念的理解．
四．教學條件支持
為了有效實現教學目標，考慮到學生的知識水平和理解能力，藉助計算機工具和現實生活中的相關實物圖片，從激勵學生探究入手，講練結合，直觀演示能使教學更富趣味性和生動性．
五．教學過程設計
1.開篇語
（1）活動設置
①如何在直角坐標系內畫出我們學校從校門口到食堂的路線？
圖1
②線段AB的中垂線上的點M在運動的過程中什麼量保持不變？
【設計意圖】通過對如何確定圖2和圖3中的幾何圖形的方法探討，使學生明確，在平面直角坐標系中，如果給定了點的坐標，多邊形的形狀和大小就唯一確定．就是說，如果有了點坐標，可以通過坐標的運算研究圖形的幾何性質；如果能找到動點在運動過程中規律，也即一個不變的等量關係式，就能尋找到用以表示曲線的代數式，然後我們就可以通過這個代數表達式研究圖形的性質．通過活動，讓學生初步體會坐標法思想．
（2）提升小結
引導性語言：這種以坐標係為橋梁，把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的方法，叫坐標法．用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，它是17世紀法國數學家笛卡兒和費馬創立的．解析幾何的創立是數學發展史上的一個裡程碑，數學從此由常量數學進入變量數學時期．課後請同學們閱讀課本P111《笛卡兒與解析幾何》，進一步了解解析幾何．
2.課題引入
引導性語言：今天我們先從直線開始研究．根據坐標法思想，為了確定表示直線的代數表達式，先必須探索坐標系下直線的幾何特徵，即確定直線位置的幾何要素，然後用代數的方法把幾何要素表示出來．
【設計意圖】使學生明確本課學習的內容．
3.探究新知
（1）傾斜角概念
問題1：如圖4，在平面直角坐標系內，你認為直線l的位置由哪些條件確定？
【設計意圖】引導學生複習學過的相關知識，尋找新內容的生長點．
預設的回答：兩點確定一條直線．
師生活動：引導學生發現：兩點確定一條直線，而這兩點確定的其實是直線上的一點及其方向，明確過一點不能確定一條直線（如圖5）．
問題2：在直角坐標系中，任何一條直線都有一個相對傾斜度，可以用一個什麼幾何量來表示這個傾斜程度呢？
【設計意圖】探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念．
師生活動：引導學生把重點放在「如何描述直線傾斜程度」的問題上．啟發學生可以用角來區別直線的位置．
問題3：依傾斜角的定義，傾斜角的範圍是什麼？
【設計意圖】讓學生明確傾斜角的取值範圍是0°≤α<180°．
問題4：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？你認為確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是什麼？
【設計意圖】使學生理解確定一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，兩者缺一不可．
（2）斜率概念
引導性語言：到現在為止，我們尋找到確定直線的幾何要素是兩點或一點一傾斜角，由這些幾何要素還是不能確定一個等量關係，找到直線的代數表示，所以我們繼續探索直線上的點在變的過程中有什麼量是不變的．
問題5：確定了點P1和角α後，P2點位置的改變不會影響直線的位置，也即角α的大小不會改變，這種變化規律類似我們已學過的什麼內容？
【設計意圖】基於學生的客觀現實，結合已有的生活經驗尋找幾何要素代數化的方法．
預設的回答：相似三角形．
師生活動：引導學生回憶起坡度問題，如圖6、7、8所示，知道坡度(比)=．然後通過類比，把坡度這個同樣用來刻畫直線傾斜程度的量與傾斜角聯繫起來，引導學生發現如果使用「傾斜角」的概念，「坡度」實際就是「傾斜角α的正切值」, 由此引出斜率概念．
問題6：是否每條直線都有斜率？傾斜角不同，斜率是否相同？可以用斜率表示直線的傾斜程度嗎？
【設計意圖】溝通數形關係，加深概念理解．明確斜率和傾斜角之間的關係，從而明確斜率是直線的傾斜程度的代數表示．
（3）斜率公式
引導性語言：有了斜率的概念，我們得到等式是k=tanα，這還不能體現是直線上的點所滿足的等量關係，但我們可以嘗試探究tanα的值與直線上的點坐標之間聯繫．
問題7：兩點確定一條直線，就是說，任給直線上兩點P1(x1, y1), P2(x2, y2) （其中x1≠x2），那麼這條直線唯一確定（如圖9、10所示），進而它的傾斜角與斜率也就確定了，這說明直線的斜率與這兩點的坐標有內在聯繫．那麼這種聯繫是什麼呢？
【設計意圖】讓學生自己探索發現直線的斜率的坐標表示公式．
師生活動：教師給出直線上兩點的坐標，可以請兩位同學到黑板上板演，其餘同學在下面完成；學生根據斜率的定義，通過構造直角三角形推算出斜率公式．師生共同評析，明確公式與P1 ，P2的順序無關．
問題8：當直線與坐標軸平行或重合時（如圖11、圖12所示）,上述結論還成立嗎?
【設計意圖】通過自己的探索，完善兩點式斜率公式k=（x1≠x2），檢驗得到公式與P1，P2兩點的順序無關．
4.應用舉例
例1 如圖13，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直線AB，BC，CA的斜率，並判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．
【設計意圖】直接利用斜率定義式求解，熟悉斜率公式，並體驗斜率與傾斜角之間的關係．
師生活動：學生動筆計算出答案，教師引導學生
可以結合圖形，直接分析得出傾斜角和斜率的關係．
變式（1）把題中的B點坐標改為(-4，2)，此時直線AB的
斜率和傾斜角分別什麼？
（2）把B點坐標改為(3，1)，此時直線AB的斜率和傾斜角分別什麼？
例2 在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為1，-1，和2的直線．
設計意圖：要求學生畫圖，體驗數形結合的思想方法．熟練應用兩點式斜率公式．
師生活動：引導學生根據已知條件分析解決方法，可以利用一點一角確定直線，也可以用兩點確定直線．因為直線過原點，所以只要再找出另外一點直線就可以確定了．在推導斜率公式時，學生已經知道，斜率k的值與直線上的兩點位置無關，因此，由已知直線的斜率畫直線時，可以再找一個特殊點，比如可以使其橫坐標等於1，給計算帶來方便．
5.課堂練習
（1）課本P86練習1，2，3，4.
（2）①當m為何值時，經過兩點A（-m，6），B（1，3m）的直線斜率是12？
②當m為何值時，經過兩點A（m，2），B（-m，2m-1）的直線的傾斜角是450？
（3）已知直線l上不同三點A（1，2），B（3，4），C(x，y)，試求kAB和kAC.．
6.課堂小結
（1）在本節課中，你學到了哪些新的概念？它們有什麼關係？
（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？
（3）從傾斜角(形)能刻畫直線的傾斜程度，到斜率(數)也能刻畫直線的傾斜程度，這個過程中主要體現了什麼數學思想？
【設計意圖】培養學生反思的習慣，鼓勵學生對研究的問題進行質疑和概括．
師生活動：讓學生歸納出刻畫直線傾斜程度的兩種方法：傾斜角(形)和斜率(數)．利用確定直線的兩種方法，歸納出求斜率的兩個計算公式．在傾斜角和斜率相互轉化的過程中體現了數形結合的數學思想．強調「坐標法」是解決解析幾何問題的基本方法．
六、目標檢測設計
1.課本P89習題3.1A組 1，2，3.
2.實習作業http://baike.baidu.com/view/17601.htm，解析幾何的發展．
「直線的傾斜角和斜率」教學點評浙江省義烏中學 朱恆元
阮老師是一位數學教育的有心人，課堂教學不乏個性和靈氣．下面我就本節課的設計思想、教材處理、目標確定等簡單地作些點評．
1.引發學生「看個究竟」的衝動
如果說A版教科書裡的章頭圖是一幅生動的寫意畫，那麼它的開
篇語就是一首優美的散文詩．教師應如何指導學生去鑑賞和品味，怎樣發揮它們的教學功能呢？阮老師的做法值得借鑑．在這裡，她並沒有照本宣科，而是讓學生先後思考比較熟悉的問題，教師運用圖片、圖象等載體，從動與靜、變與常等角度去初步體會坐標法思想．在有效開展思考活動的基礎上，點到為止地簡介解析幾何的發展史，緊接著指出「從直線開始研究」，「讓我們給直線插上方程的『翅膀』吧」，要言不煩，直奔主題．阮老師選取了典型的、熟悉的素材，創設了解析幾何的學習情境，使學生產生了對解析幾何坐標法的親切感，引發了學生「看個究竟」的衝動，提高了學生學習的熱情和參與度．
2.放棄「我們研究過一次函數」的提法
不妨回顧一下大綱課本，它是先安排「一次函數的圖象與直線的
方程」一小節，學習「直線的方程」與「方程的直線」，然後指出「為了建立直角坐標系中的直線方程，需要研究直線的傾斜角和斜率」，但教學實踐表明學生對「直線的方程」與「方程的直線」的理解總是半生不熟、一知半解．事實上，函數圖象與方程曲線兩者之間雖然有聯繫但又有區別．另外，一次函數涉及直線的斜截式方程，按照A版教科書的編寫體系，會有知識「超前」之嫌．基於以上考慮，阮老師對原教學設計進行了修改，放棄了「我們研究過一次函數」的提法，撇清了與「一次函數圖象」的糾纏．這樣處理後主題更加鮮明，「兩點確定一條直線」，「一點和一個方向也可確定這條直線」，教學對象「直線」更為突出．
3.把握「我們在幹什麼」的探索線
「直線傾斜角和斜率」是解析幾何的起始課．理解兩個概念，掌握有關公式，體驗化歸過程，領會基本方法是本節課教學的「應知應會」．兩點確定一條直線，一點和一個方向（傾斜角）也可確定這條直線（其實前者與後者是一致的），而點可用坐標表示，那我們就不禁要問：直線的傾斜角（形）與直線上點的坐標之間（數）究竟存在怎樣的關係呢？這就是課堂教學「我們在幹什麼」的探索線．撩開這神秘的「面紗」，學生的學習就不會感到茫然．阮老師緊緊圍繞這條「探索線」，精心設計了「8問」，層層深入，步步為營，最後順利地達成了教學目標，也較好地體現了課堂教學的有效性．
4.攻克「怎麼會想到它」的教學難點
傾斜角用「形」來描述直線傾斜程度，而斜率則用「數」來刻畫直線傾斜程度，那麼實際生活中又是如何來刻畫樓梯或路面的傾斜程度（引入「生活場」）呢？用「坡度」（引入「圖形場」）．此時此刻，怎樣引導學生與「樓梯或路面的傾斜程度」進行類比？這就是教學的難點．當然，我們可以急功近利，直接點出「樓梯或路面的傾斜程度可用坡度來刻畫，在平面直角坐標系中，我們可以類似地利用這種方法來刻畫直線傾斜程度」，然後再用圖片等進行輔助教學，但這樣的知識生成畢竟是「冰冷」的．阮老師在教學中，先把已知直線與x軸的交點相對固定，另一點沿直線運動，就產生了「升高」和「前進」的印象，從而比較自然地聯繫到「坡度」（這是特殊情形）．後面，再把這個「固定」點也動起來，我們就很順利地通過構造直角三角形作進一步分析（這是一般情形）．這樣動態化進行處理，使知識的形成「鮮活」、自然起來了．這的確是課堂課教學的一大亮點．
5.深層挖掘課本例題的潛在功能
例1的教學功能是運用直線的斜率公式和根據斜率判斷傾斜角的特徵．阮老師對這個例題的功能挖掘得較深，她對相關問題加以必要的改造和適度的變式，通過「短、平、快」講練，達到良好的教學效果；同時又藉助幾何畫板等工具進行演示，讓學生自己獲得直線的斜率與傾斜角之間的一般關係，尤其是加深了對「傾斜角為90的直線斜率不存在」的理解．例2的編擬是A版教科書的一大亮點，通過「畫直線」，加強數形結合，進一步理解直線的斜率公式（斜率的值與直線上點的位置無關），也為以後教學點斜式方程埋下伏筆．阮老師對例2的教學非常重視，可見她理解教科書很到位、準確．
6.充分發揮幾何畫板的輔助作用
通過對「直線束」運動變化的演示，傾斜角概念的引入和形成就變得親切自然；觀察「繞定點旋轉」的直線傾斜角變化，它的取值範圍則一目了然；藉助幾何畫板直接度量直線的斜率，同時計算的值，使的發現不再困難．阮老師在教學中恰到好處地運用了幾何畫板這個平臺，動態演示適時適量適當，加深了對變化規律的感性認識，也豐富了學生學習的感受和體驗．
最後，我想談兩點教學思考：
1.本節課的核心概念是直線的斜率．在課程標準刪去「兩條直線的到角和夾角」內容與要求以後，直線傾斜角概念的地位有所下降．因此，要突出斜率概念教學的核心地位，避免傾斜角概念教學的拖泥帶水．阮老師在教學中對這一點已經有所考慮，主次比較清晰，沒有喧賓奪主．但我想在藉助幾何畫板演示的基礎上，最好能直接點出斜率=．這樣處理，教學語言更為簡練清晰，能讓學生更好地理解概念的本質，也可為今後函數變化率的教學打下伏筆．
2.本節課當然要掌握直線傾斜角和斜率的概念，但它並不是讓學生去讀背有關的文字語言，而是要熟悉它們的符號語言，並理解傾斜角的取值範圍、斜率的大小符號以及傾斜角和斜率之間的數量關係等．課堂小結時，讓學生進行學習反思、心得交流，還共同編制結構框圖、歸納知識體系，等等，固然都很重要，但最根本的還是要想方設法達到方法領會、技能提升、能力發展．古人云：授之以魚，不如授之於漁．這個「漁」，這把金鑰匙就是有關正切函數的「局部」圖象（就斜率與傾斜角的關係而言）以及式子=（就斜率公式而言）．我們浙江全省統一在學完《必修4》以後學習《必修2》，因此對三角函數有關知識的出現完全不必「猶抱琵琶半遮面」．
「直線的傾斜角和斜率」教後設計
金華市艾青中學 阮彩香
一、內容和內容解析
內容：直線傾斜角與斜率的概念，斜率公式。
內容解析：本課是人教版數學必修2第一節直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何內容的開始。直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，是用坐標法研究直線性質的基礎。本課不僅要理解兩個概念、得到一個公式，更要了解幾何問題代數化的過程，滲透解析幾何的基本思想方法。本課有著開啟全章，奠定基調，滲透方法的作用。
傾斜角從幾何角度描述了直線的傾斜程度。課本結合具體圖形，在探索確定直線位置的幾何要素中給出傾斜角概念。
斜率從代數角度描述了直線的傾斜程度。課本藉助「坡度」引出斜率概念。定義給出了直線的斜率與傾斜角的關係，溝通了刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示的關係。
直線可由兩點來確定，坐標平面內的點由其坐標確定，因此直線的斜率就可以用直線上兩點的坐標來表示，這就是經過兩點直線的斜率公式。
「坐標法」與數形結合思想是本課內容蘊含的核心思想。
教學重點：斜率概念及公式。
二．目標和目標解析
目標：理解直線的傾斜角和斜率的概念，並能結合三角函數掌握它們之間的關係；掌握過兩點的直線的斜率公式。
目標解析：
1．在平面直角坐標系中，結合具體的圖形，探索確定直線位置的幾何要素，引出直線的傾斜角概念。結合動畫演示，明確傾斜角的取值範圍。
2.藉助坡度概念引出斜率概念，讓學生體驗數形結合思想和轉化思想的意義和價值，發展學生對變量數學的認識。
3.能根據斜率的概念，掌握傾斜角和斜率之間的關係，並能根據斜率的兩個計算公式，求出直線的斜率。
4．初步了解坐標平面內的圖形是如何進行量化和代數化的，了解「坐標法」。
三．教學問題診斷分析
1．兩點確定一條直線是學生知道的。但如何認識直角坐標系這一「參照系」下確定直線的幾何要素，對學生來說有點困難。所以在教學過程中可以引導學生先觀察過一點的直線之間的不同點，再類比實際生活中描述航線的實際例子，從而發現需要增加的量，以及如何描述這個量，最後形成傾斜角的概念。
2．引入斜率的概念時，教學中可充分利用學生已有的知識（坡度概念），引導學生把這個同樣用來刻畫傾斜程度的量與傾斜角聯繫起來，並通過坡度的計算方法，引入斜率的概念。因為在這節課裡學生是初步接觸坐標法，所以應將重點放在引導學生體會如何從形轉化到數的過程上，知道傾斜角和斜率都可以刻畫直線的傾斜程度。
3．在學習完傾斜角、斜率的概念及其關係後，再來探究已知兩點求直線的斜率公式時，學生不會覺得困難。需要注意的是要通過對有坐標系決定的直線的四類位置及P1，P2兩點位置順序的討論，滲透分類討論的思想。
教學難點：傾斜角概念形成，斜率概念的理解。
四．教學條件支持
為了有效實現教學目標，考慮到學生的知識水平和理解能力，藉助計算機工具和現實生活中的相關實物圖片，從激勵學生探究入手，講練結合，直觀演示能使教學更富趣味性和生動性。
五．教學過程設計
（一）開篇語
引導性語言：在初中，不與坐標軸平行的直線可以用一次函數來表示，開口向上或向下的拋物線可以用二次函數來表示，這樣就把對圖形的研究轉化為對函數的研究，這裡溝通數形關係的橋梁是坐標系。這種以坐標係為橋梁，把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的方法，叫坐標法。用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，它是17世紀法國數學家笛卡兒和費馬創立的。課後請同學們閱讀課本P111《笛卡兒與解析幾何》，進一步了解解析幾何。
那麼如何用代數的方法表示平面中其它簡單圖形？如與x平行或垂直的直線，開口向右或左的拋物線，圓等等。
設計意圖：通過對已有知識及思想方法的回憶，尋找新的知識「生長點」，引導學生用「坐標法」的思想來思考新的問題。
（二）課題引入
引導性語言：我們先研究坐標平面內最簡單的圖形——直線。為此，我們先探索確定直線位置的幾何要素，然後在坐標系中用代數的方法把幾何要素表示出來。
設計意圖：使學生明確本課學習的內容。
（三）探究新知
1．傾斜角概念
問題1：如圖1，對於平面直角坐標系內的一直線l，你認為它的位置由哪些條件確定？
設計意圖：明確思維方向,探索確定直線位置的幾何要素。
師生活動：引導學生發現：兩點確定一條直線，過一點不能確定一條直線。
問題2：如圖2，在直角坐標系中，過點P1的不同直線的區別在哪裡？
設計意圖：引導學生發現過定點的不同直線，其傾斜程度不同。從而發現直線上一點和直線的傾斜程度也能確定一條直線。
問題3：在直角坐標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對傾斜度，可以用一個什麼幾何量來反映一條直線與x軸的相對傾斜程度呢？
設計意圖：探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念。
師生活動：引導學生把重點放在「如何描述直線傾斜程度」的問題上。啟發學生發現可以用直線與x軸的夾角來描述直線的傾斜程度，促成概念的形成。師生共同給出傾斜角的概念。
問題4：依傾斜角的定義，傾斜角的範圍是什麼？
設計意圖：讓學生明確傾斜角的取值範圍是0°≤α＜180°。
師生活動：學生思考作答，教師可藉助多媒體課件的直觀演示，讓學生明確傾斜角的範圍。
問題5：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？你認為確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是什麼？
設計意圖：使學生理解確定一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個點以及它的傾斜角，兩者缺一不可。
師生活動：通過多媒體課件的演示，引導學生明確每條直線都有傾斜角，在已知一點和一個傾斜角的情況下，唯一確定一條直線。
2．斜率概念
引導性語言：我們已經給出了確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素，那麼如何用代數的語言描述上述幾何要素呢？
設計意圖：告知目標，明確思維的方向，將幾何要素代數化。
問題6：在日常生活中，我們有沒有碰到過表示傾斜程度的量？
設計意圖：基於學生的客觀現實，結合已有的生活經驗尋找幾何要素代數化的方法。
師生活動：引導學生在生活中舉例，比如，山坡，樓梯等，教師適時給出遊樂場裡的水滑梯，大橋的引橋等教學情景。
問題7：（1）觀察圖4對應的幾何圖形（圖5，6），我們發現坡越陡，坡面與地平面所成的角越大，你認為這個角的變化與圖中哪個數量變化有關？
（2）觀察圖7，坡面與地平面所成的角不變的情況下，升高量和前進量都在變化，那麼你認為這個角的變化與升高量和前進量之間究竟是怎樣的關係？能不能用一個數學式子來表示它們之間的關係？
設計意圖：引導學生發現，坡的陡峭程度與升高量和前進量有關。
師生活動：學生觀察圖片並交流，教師參與討論。
問題8：從上面的討論，我們發現，如果使用「傾斜角」的概念，「坡度」實際就是「傾斜角α的正切值」。由此你認為除了傾斜角還可以用怎樣的量來刻畫直線的傾斜程度？
設計意圖：探索描述直線的傾斜程度的代數表示，由此引出斜率概念。
師生活動：從實際圖片中抽象出幾何圖形，然後觀察升高量和前進量的變化引起坡度改變的過程。再引導學生得出坡度的計算方法，坡度（比）=。最後通過類比，引導學生把坡度這個同樣用來刻畫直線傾斜程度的量與傾斜角聯繫起來，從而引入「斜率」這一概念。
問題9：是否每條直線都有斜率？傾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎樣結論？
設計意圖：溝通數形關係，加深概念理解。明確可以用斜率表示直線的傾斜程度。
師生活動：引導學生發現斜率是傾斜角的正切值，因此結合函數圖象（圖8），學生總結出斜率與傾斜角之間的變化關係。引導學生發現不是所有直線都有斜率。
3．斜率公式
問題10：兩點確定一條直線，直線確定，直線的傾斜角與斜率也就確定了，那麼你能用直線上兩點P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐標來表示該直線的斜率嗎？
設計意圖：讓學生自己探索發現：兩點確定一條直線，直線確定，直線的傾斜角與斜率也就確定了，說明直線的斜率可以用兩點坐標來表示，只要找到傾斜角的正切值與坐標的關係。
師生活動：教師給出直線上兩點的坐標，請兩位同學到黑板上板演，其餘同學在下面完成；學生根據斜率的定義，通過構造直角三角形推算出斜率公式。師生共同評析。
問題11：當直線與坐標軸平行或重合時,上述結論還成立嗎?
設計意圖：通過自己的探索，完善兩點式斜率公式k=（x1≠x2），檢驗得到公式與P1，P2兩點的順序無關。
師生活動：總結兩點式斜率計算公式：k=（x1≠x2）。
（四）應用舉例
例1.如下圖，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直線AB，BC，CA的斜率，並判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。
設計意圖：直接利用斜率定義式求解，熟悉斜率公式，並體驗斜率與傾斜角之間的關係。
師生活動：學生動筆計算出答案教師引導學生可以結合傾斜角和斜率的函數關係圖，分析傾斜角和斜率的關係。
變式1.直線的斜率為k，傾斜角為α，若＜α＜，則k的範圍（ ）
A.（-1，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1] D. （-∞，-1]∪[1，+∞）
變式2.設直線的斜率為k，傾斜角為α，若-1<k<1，則α的取值範圍是 （ ）
A．（-,） B. C.（0，）∪（，）D.
設計意圖：根據斜率的定義式，結合圖象，熟悉傾斜角和斜率的關係。
例2.在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為1，-1，和2的直線。
設計意圖：要求學生畫圖，體驗數形結合的思想方法。熟練應用兩點式斜率公式。
師生活動：引導學生根據已知條件分析解決方法，因為直線過原點，所以只要再找出另外一點直線就可以確定了。在推導斜率公式時，學生已經知道，斜率k的值與直線上的兩點位置無關，因此，由已知直線的斜率畫直線時，可以再找一個特殊點，比如可以使其橫坐標等於1，給計算帶來方便。
（五）課堂小結
（1）在本節課中，你學到了哪些新的概念？他們間有什麼關係？
（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？
（3）從傾斜角（形）能刻畫直線的傾斜程度，到斜率（數）也能刻畫直線的傾斜程度，這個過程中主要體現了什麼數學思想？
設計意圖：培養學生反思的習慣，鼓勵學生對研究的問題進行質疑和概括。
師生活動：讓學生歸納出刻畫直線傾斜程度的兩種方法：傾斜角（形）和斜率（數）。利用確定直線的兩種方法，歸納出求斜率的兩個計算公式。在傾斜角和斜率相互轉化的過程中體現了數形結合的數學思想。強調「坐標法」是解決解析幾何問題的基本方法。
六、目標檢測設計
1．已知直線的傾斜角為α，若sinα=，求此直線的斜率。
2．已知直線y=xsinθ-1，求該直線傾斜角範圍。
3．在x軸上有一點P與Q（2，）傾斜角為150o,求點P坐標。
4．求證：點A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一條直線上。
設計意圖：通過訓練，鞏固本課所學知識，檢測運用所學知識解決問題的能力。
直線的傾斜角和斜率教案
江西省萍鄉中學 黃賢鋒
1 教學內容分析
1.1教學內容
本節課講的是北師大版必修二第二章的第一節第一課時的內容，主要學習直線的傾斜角和斜率的概念以及過兩點的斜率公式.
1.2教材所處地位及前後的聯繫
本節內容是高中解析幾何內容的重點，涉及的直線傾斜角，斜率是解析幾何中的重要概念。這些概念的學習初步滲透了解析幾何的基本思想和基本研究方法。本節內容的學習，為進一步學習圓錐曲線方程、導數等知識做好了鋪墊；為最終通過解決代數問題來解決幾何問題打下基礎。
2教學目標
2.1知識目標
理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
2.2能力目標
通過學習直線的傾斜角和斜率有關的概念，培養學生的數學理解能力；通過對斜率公式的推導，增強學生運用坐標法解決幾何問題的能力；通過練習增強學生分類討論的意識。
2.3情感、態度與價值觀
學生通過主動探究，合作學習，相互交流，增強學生的數學應用意識，提高學生數學思維的情趣，給學生成功的體驗，強化學生參與意識與主體作用.
3學情分析
3.1認識結構
經過半年多時間的學習，學生對數學概念及思維方法的認識水平有了較大提高.但不同層次的學生之間仍存在著較大的差距，尤其表現在對知識的探究、聯想、遷移能力上.在新課中，運用了生活中的實例，多媒體動畫效果，引導學生思維的「上路」，讓學生主動參與探究過程.
3.2情感結構
隨著年齡的增大，閱歷的豐富，高中學生自主意識的增強，有獨立思考問題、發現問題的能力.在學生的探索活動中，主動通過設疑、質疑、提示等啟發示手段，幫助他們分析問題，激發學生的學習的興趣.
4 教學重點、難點分析
4.1教學重點
直線的傾斜角和斜率的概念。
4.2教學難點
斜率概念的理解和過兩點的直線斜率計算公式的推導。
5教學方法
本節課主要是教給學生「動手、動眼、動腦、動口」的研究式學習方法，增加學生自主參與，合作交流的機會，教給學生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學生真正成為教學的主體。
6 教學手段
多媒體教學
7 教學過程
7.1創設情境 引入新課
帶領學生欣賞李白《蜀道難》中的詩句「蜀道之難難於上青天」，「 黃鶴之飛尚不得，猿猱欲度愁攀援。 」並通過圖片欣賞蜀道風光。
設計意圖：通過耳熟能詳的李白詩句，以及蜀道風光凸顯蜀道的險峻，陡峭。為順利引出道路（直線）的傾斜程度埋下伏筆。順勢引出本節內容「直線的傾斜角和斜率。」
7.2 創設問題 引入新知
思考1平面內一條直線由哪些條件確定呢？
學生解答
老師追問：在數學中還有沒有其他方式確定一條直線？
設計意圖：激發學生的求知慾，為順利引出問題2作鋪墊。
問題1 在如圖所示的平面直角坐標系中，畫出滿足下列條件的直線，並探究這樣的直線有多少條。
(1).經過定點A，
(2)直線的向上方向與x軸正方向成30°
(3)經過定點A的直線，且直線的向上方向與x軸正方向成30°。
學生解答
設計意圖：通過幾個問題的比較得知兩點確定一條直線，以及「一點一方向」確定一直線。接下來出現刻畫直線「方向」的量傾斜角也就順理成章了。
7.3 新課講解
評黃賢鋒老師《直線傾斜角和斜率》一課
江西萍鄉中學 吳勇明
黃老師上的這節課是北師大版必修二第二章的概念課教學,是解析幾何的重點,也是教學的難點.他深入鑽研教材,精心準備,整堂課給人感覺非常舒服,水到渠成.概括起來有以下亮點:
1.教學設計獨具匠心.
通過李白的名言及蜀道景致創設情境,激發學生的學習熱情和求知慾;以問題為抓手帶出對概念的學習,構建了新舊知識的交融,導入自然.
2.注重知識的生成.
採用研究與啟發式的教學,讓學生經歷知識的發生、發展過程,感悟知識的本來面目;學生自始至終置身於教師為其創設的情境中,在思考,交流,傾聽和發現中學習,體現」以生為本」的理念.
3.教學思路清晰,課堂結構嚴謹,教學目標達成意識強.
教學過程由淺入深,突出教學重點;對教學難點恰當分解,循序漸進,抓住了教學的關鍵;教師精講精練,體現思維為重點,同時運用變式教學,拓寬了思維深度,訓練了思維靈活性;教學的密度較為合理.
4.多媒體與板書的結合恰到好處.
充分發揮了多媒體的輔助功能,但對教學的重點和難點不吝板書,二者結合較為完美.
5.教師的基本功紮實.
上課富有激情和感染力,教態親切自然,語言簡潔規範,板書工整,層次清楚,多媒體使用熟練、恰當.
美中不足的是由於錄像的原因,學生沒有完全放開.
總之,這節課符合教學內容和學生實際,是一堂精彩的數學課.
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