巴赫等音樂家們所用的音律,最早是中國人用算盤算出來的

2020-12-13 中科院物理所

1990年，黃霑受邀為徐克的電影《笑傲江湖》譜曲，前前後後寫了6稿徐克都不滿意。「走投無路」的黃霑從古樂中得到靈感，用中國傳統五聲音階宮、商、角、徵（zhǐ ）、羽寫出《滄海一聲笑》的基礎旋律。

徐克一聽拍案叫絕，一首經典「神曲」就此被傳播開來。然而中國古音的歷史與成就可不止「宮商角徵羽」這麼簡單，細算起來，就算是影響了整個西方古典音樂史的巴赫也曾深受中國傳統音律的啟發。

● 《笑傲江湖》經典片段

音律，是數學與藝術緊密結合的產物。不管是古代音律的五聲音階，還是現代通用的十二平均律，無一不是經過細緻數學計算的產物。而中國在音律發展史上的步步領先，也體現了我們民族在數理上的過人之處。

中國古代音律的起源，要追溯到一位人盡皆知的歷史人物——春秋時期的管仲。

● 被譽為「華夏第一相」的管仲

古籍《管子·地員篇》中記載了世界音樂史上最早的一種求律方法，史稱「三分損益法」。原文是這樣寫的：

凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是黃鐘小素之首，以在宮；三分而益之以一，以百有八，為徵；不無有三分而去其乘，適足以是生商；有三分而復於其所，以是成羽；有三分而去其乘，以是成角。

翻譯過來的大意就是：想要求出五音，首先應該找出一個標準音，即「黃鐘」，也就是「宮」音。這個音被「三分四開以合九九」，那可以假定其對應的弦長比數為81。

接著將宮音的長度增加三分之一，算出低四度的「徵」音，那麼「徵」就是81+81/3=108；再將徵音的長度減去三分之一，可得出徵的高五度音「商」，為108/3*2=72；把商音的長度增加三分之一，可得它的低四度音「羽」，為72+72/3=96；最後把羽音減去三分之一，可得弦長比數為64的「角」音。

● 由三分損益法得出的五音

這種五聲音階法在中國古代音樂中被稱為「正聲」，是古今中國民間音樂最為常見的音階形式。事實上，由此推算出來的「宮商角徵羽」對應現代音律就是「do、re、mi、sol、la」。

大家會發現「fa」跟「si」這兩個現代音律不見了，但其實按照管仲的「三分損益法」，完全可以繼續計算細分下去。加上「fa、si」的七聲音階甚至是十二律都可以用這個方法往下演算出來。

而主要的問題在於，這個公式算出來的五聲音階儘管悅耳動聽，但是相鄰音階之間的頻率之比卻是不固定的。根據上面宮商角徵羽的數值比例計算，大部分音階之比是1.125，而中間總會有一個比是1.185循環……

所以「三分損益法」可以求出「十二律」，在《呂氏春秋·音律》篇中也確實記載了從「黃鐘」、「大呂」到「無射」、「應鐘」的完整十二律，但這卻是不平均的十二律。

● 《呂氏春秋·音律》中記載的古音十二律

這種十二律會出現「仲呂極不生」、「黃鐘不能還原」的現象，暴露出十二律不能回歸本律及無法旋宮轉調的問題。是的，早在上千年前，我們的古人就已經不滿足於一個調子到底的音樂。

想要轉調，就必須解決十二律不平均的數學難題。

我們把目光轉到西方，西方音樂在我們的印象中似乎十分發達。貝多芬、莫扎特、巴赫……無數音樂偉人構成了一個龐大的西方古典音樂體系，那麼他們是如何解決這個難題的呢？

● 巴赫肖像

事實上，西方音樂世界因為前期發展較慢，直到管仲去世近150年後才遇到這個難題。由古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯提出的音律「五度相生法」與管仲的「三分損益法」有著驚人的相似度。

而五度相生法創造出來的西方五聲音階，面臨著與中國古代音律一樣的「不平均」問題。在中國，先後有漢代京房六十律、五代劉燀十二等差律、宋代蔡元定三分損益十八律等等嘗試出現，南北朝時期甚至出現過三百六十律這種「大數據」。

然而這些音律要不就還是不能成等比例，要不就是強行等比而忽略了音律的動聽韻律。直到公元1587年明代朱載堉「新法密率」的問世，才完美解決了這個困惑了東西方音樂家、數學家近兩千年的歷史難題。

簡單來講，朱載堉就是將一個八度平分成了十二份來求這「十二平均律」。那麼從第一份到第十二份，則必須是兩倍（一個八度）的關係。假定第一個音律為X，那麼它必須被某個固定數值乘12次之後變成最終的2X。

● 朱載堉著《樂律全書》

這個固定數值以現在的數學語言看來是12次根號2，對於現代人來說，不過是按幾下計算機的問題。但在明朝的朱載堉手中，就是「徒手開十二次根號」的數學難題。

為此，朱載堉特製了一個多達81位的巨型算盤，靠人力硬生生把它給解出來了。解出來後，朱載堉不僅製作出了世界上第一架定音樂器，還將自己的研究成果呈進朝廷。

● 朱載堉令人頭禿的計算結果

55年後，法國的數學家馬林·默森（Marin Mersenne）也在自己的著作中寫出了與朱載堉一模一樣的等程律數學表達式。作曲家巴赫一生極推崇平均律的作曲運用，直接影響了後世無數音樂家。

經由一代代數學家與音樂家的接力配合，才有現代各式各樣音律模式開花齊放的局面。而十二平均律始終佔據主流的突出地位，更體現了人類對於韻律藝術與平衡規律這種玄妙結合的偏愛之情。

至於數理與音律這兩對讓人難以捉摸的雙生子，我們還遠未窮盡對它們的探索。

參考文獻：

Bilibili視頻網：李永樂老師講音律

山東師範大學 《論管子 三分損益法》文/羅天全

協商論壇 《朱載堉：「布衣王子」的科研、音律路》文/ 趙慎珠

福建師範大學文學院 《河圖洛書：朱載堉十二平均律的理論原點》文/黃黎星

來源：手望Sowarm

編輯：GUOmazing

相關焦點

  • 「鋼琴理論鼻祖」朱載堉和他的特大算盤
    在焦作沁陽朱載堉紀念館裡，有一把巨大的算盤，這是朱載堉自製的81檔雙排大算盤的複製品。十二平均律複雜的演算，就是通過這樣的算盤完成的。朱載堉對文藝的最大貢獻是他創建了十二平均律。朱載堉用橫跨81檔的特大算盤，進行開平方、開立方的計算，提出了「異徑管說」，並以此為據，設計並製造出弦準和律管。朱載堉的「十二平均律」使這十二個鍵的每相鄰兩鍵音律的增幅或減幅相等。
  • 「視頻」馬友友與13國YMCG音樂家隔空合奏巴赫,用音樂聲援全球抗疫
    近日，廣東國際青年音樂周藝術總監馬友友與來自13個國家的YMCG（每屆音樂周都會組建的交響樂團）成員隔空合奏巴赫作品。發起人、青年音樂家林晶詩與陳穎蕾表示，「希望用音樂連結你我，連結世界每一個角落，為全球受疫情波及的人們帶來安慰。」
  • 為什麼中國人用算盤,西方人用計算機
    算盤，西亞人的發明 和一般人想像的不同，算盤並非中國人的發明。最早的算盤出現在公元前2700年到2300年左右的蘇美爾文明，最初只是一個有橫隔的泥板，擺上泥丸或者石子，按位累加，放滿清空，並在下一列加1——這就是進位制的最初起源。
  • 音樂家巴赫之死以及他的作品
    「巴赫」這個名字一般是指約翰·塞巴斯蒂安·巴赫(J.S.Bach)，偉大的「西方音樂之父」。巴赫家族是一個人丁興旺的音樂家族，這個家族從十六世紀中葉就開始出現音樂家，一直延續到十九世紀末，三百多年中共出現了五十二位音樂家。
  • 紀念音樂家巴赫逝世270周年:他讓神聖人性,讓人性神聖
    巴赫的音樂，在大部分孩子的眼裡，似乎是毫無章法的組合、再組合，猶如一面銅牆鐵壁構造出來的建築，一道極難待解的數學習題；巴赫，也是鋼琴演奏家們需要跨越的最後一座高峰，其音樂中淵博的複雜性，包容著無限變化，童年時能夠彈奏的曲子，多年後竟然又變幻出了新的秩序。
  • 我國的原子彈真是用算盤打出來的嗎
    在此之前蘇聯一度承諾將對中國的核研究提供支持，然而當時的蘇聯領導人赫魯雪夫撕毀了兩國間的協議，拒絕向中國提供原子彈樣品，此後工作在中國國防科技部門的蘇聯專家顧問們陸續撤走。中國的核武研究就此走上了獨立自主自力更生之路。當時主席對此有明確表態：「以前有蘇聯人援助我們，現在我們自己幹也一定要幹好！我們只要有人、有資源，什麼奇蹟都可以創造出來」。
  • 「音樂家故事·巴赫篇(Part B)」魏瑪時期與巴赫應戰
    巴赫的創作生平可以從他一生中所生活的三個地點劃分為三個時期。魏瑪時期，作為一名聞名遐邇的管風琴師，巴赫的主要貢獻在於對管風琴的改造。上司正好利用這個機會，在宗教會議上列舉罪狀，說巴赫在聖詠中加進許多不能讓人忍受的變奏，在聖詠中混雜許多異端音響以致使教友大惑不解；說以前巴赫醉心於管風琴彈奏，一彈就很長時間，而如今批評他後，他又走到另一極端，彈奏時間極短等等。
  • 盛原:欣賞巴赫的三十二條「軍規」
    1、中國文化的特點以及中國人對音樂和其他藝術門類所反映的內容的習慣性理解，使得我們對西方音樂，尤其是巴赫的音樂有著很深的誤解。中國人認為音樂是表現形象，即意境或情節的；而西方人，起碼在巴赫時代的西方人，認為音樂是一種科學性的研究與探索。
  • 「睡前巴赫」——用音樂寵愛孩子
    「睡前巴赫」項目即是其中之一。「睡前巴赫2017年1月17日下午，我和女兒邀請她的小夥伴蓁蓁第一次參加了「睡前巴赫」音樂會。音樂會由五位音樂家演奏作品，2位女士和3位男士；兩位主持人進行雙語主持。法語主持人是一位男士，兼演奏吉他。活動的創辦者是一位鋼琴家，也是活動的英語主持人，她總是那麼熱情洋溢。
  • 中國古代第五大發明 算盤(圖)
    東漢數學家徐嶽所著《數術記遺》明確記載：「珠算，控帶四時，經緯三才。」　　「一上一，二上二，三下五除二，四去六進一……」這首珠算口訣曾經為多少人熟悉。
  • 算盤是羅馬人首創?百度慶祝中國珠算申遺成功五周年
    程大位（1533～1606），字汝思，號賓渠，休寧率口人（今安徽）。從二十歲起便在長江中、下遊一帶經商，遍歷吳楚，因商務計算需要，隨時留心數學，遍訪數算名家和民間珠算高手。同時搜集很多書籍，進行刻苦鑽研，時有心得。約四十歲時，程大位回到老家，於六十歲時完成《算法統宗》十七卷。
  • 用漢字怎麼求2的12次方根?一個玩音樂的明朝王爺做到了!
    他自己也不知道，反正從小屋裡出來時，朱載堉已經三十四歲了。 在土屋裡呆的十九年，讓朱載堉後來以律學家、歷學家和音樂家著稱於世，而他的這些成就大多是在這間小屋裡完成的。
  • 西洋業餘音樂家,編寫出義大利文與中文對照,為中國最早雙語書籍
    每天與您分享優質文章~利瑪竇（Matteo Ricci, 1552年1610年）是義大利人，明朝時來到北京，還當了一回業餘的「音樂家」。>利瑪竇曾向萬曆皇帝獻上一架鋼琴——這是最早傳入中國的鋼琴。《西琴曲意》用韻文寫成，琅琅上口，是最早翻譯成漢語的讚美詩。《西琴曲意》受到文人士大夫的歡迎，他們要求利瑪竇刊刻發行。利瑪竇就編寫了義大利文和中文對照的版本予以刊印，這是中國最早的雙語書籍。
  • 算盤的「前世今生」這種快被人們遺忘的祖先最偉大的發明之一!
    「天運人功理不窮，有功無運也難逢。因何鎮日紛紛亂？只為陰陽數不通。」這是賈迎春為《紅樓夢》算盤所作的一個生動的謎語。英國學者李約瑟說：「算盤是中國的第五大發明」，這是對中國算盤的最高評價。現存最早的算盤是公元1444年中國製造的7珠25級算盤（第15級缺失）。我國最早記述算盤的書籍叫《魁本對相四言雜字》，被哥倫比亞大學圖書館收藏。算現在用的或者是收藏的算盤幾乎都是中國式的算盤，在東南亞國家仍然很流行。算盤計算最早出現在東漢時期，記載了14種古代算法。使用算盤的算法有五種：太一算、兩儀算、三才算、九宮算和珠算。
  • 巴赫在布蘭登堡
    上課講到巴赫，我喜歡放他的《布蘭登堡協奏曲》。　　1718年和1719年的冬天，巴赫從科滕出差去柏林，受邀到布蘭登堡大公府上演奏。大公請他送些曲子給他，巴赫於是謄抄了六份舊作獻上。這就是後來的《布蘭登堡協奏曲》。只是大公手下僅6名樂手，且水平有限，演奏不了巴赫的大作。大公死後，樂隊解散，這些手稿也被當作廢紙賣掉。
  • 「聲」援全球抗疫 馬友友與13個國家青年樂手隔空合奏巴赫作品
    發起人、青年音樂家林晶詩與陳穎蕾表示，「希望用音樂連結你我，連結世界每一個角落，為全球受疫情波及的人們帶來安慰。」　　馬友友個人社交帳號成樂迷「樹洞」　　今年1月，廣東國際青年音樂周藝術總監馬友友在結束第四屆音樂周旅程之後，得知中國發生新冠肺炎疫情，旋即代表YMCG全體導師向廣州交響樂團發來溫暖問候。
  • 音樂家巴赫竟然這麼厲害
    1685年巴赫出生於德國中部圖林根州愛森納赫的音樂世家。父親是一名小提琴手，他祖父的兄弟也是極有天賦的作曲家。巴赫從小便受到家族的薰陶，有著極高的音樂天賦。巴赫小時候父母相繼去世，由其大哥對其進行撫養，大哥教給了巴赫許多知識，但不允許其翻閱音樂資料，巴赫利用夜間將其抄錄下來，從而極大損傷了其自己的視力。
  • 「研究巴赫,你將在那裡找到一切!」|J.S.巴赫逝世270周年
    在作者看來，巴赫在作曲上奮鬥終生，是擁有「完美的習慣」的音樂家典範，同時他的個人脾氣也有著複雜性和矛盾之處。貫穿本書始終的，是對巴赫個性和創造力之間相互作用的探討，對完美和不完美如何在巴赫生命當中共存的追尋。《天堂城堡中的音樂：巴赫傳》分為十四個章節，「十四條輪輻，全部連接到同一個核心——作為人和音樂家的巴赫。」
  • 為什麼巴赫、莫扎特和貝多芬更偉大?
    我們常常一提到古典音樂家，比較為人熟知的通常都是巴赫、莫扎特和貝多芬三位。的確，如果說要在人類歷史中選出三位最偉大的音樂家，我想不出意外的話，也是這三位。那麼，為什麼是這巴赫、莫扎特和貝多芬代表了古典音樂的三座高峰而不是我們同樣熟知的蕭邦、舒伯特、勃拉姆斯等等這些同樣為我們熟知且同樣偉大的音樂家？
  • 巴赫及其音樂對人的教化體現在哪些方面?大提琴家王健說:「巴赫的音樂有很多旋律表現了中國人的生活哲學……」
    巴赫靠的不是豪言壯語，也不是後人撰寫的事跡，而是用音樂——世界通行的語言，溝通心靈的橋梁。巴赫的作品深沉、悲壯、廣闊、內蘊，充滿了現實生活的氣息。作為一個虔誠的新教教徒，巴赫借宗教音樂抒發了對人類痛苦的同情以及對和平與幸福的渴望，並且把音樂從宗教附屬品的位置上解放了出來，使之平民化。——321巴赫生日快樂丨他的音樂使我感到愉快丨我們可以安靜的吃草啦！