【注】如果公式顯示不全，請在公式上左右滑動顯示！
練習1：計算由曲線
【參考解答】：兩曲線的交點為
【思路一】 視圍成的區域為簡單
【思路二】 視圍成的區域為簡單
練習2：計算拋物線
【參考解答】：容易計算得到兩曲線的交點為
【思路一】 選取
【思路二】 選取
【思路三】 用梯形的面積減去曲邊梯形
的面積. 於是有
練習3：求橢圓
【參考解答】：根據圖形的對稱性，橢圓所圍成的面積
利用橢圓的參數方程
應用定積分換元法，代入得
【注】當
練習4：計算夾在兩曲線
【參考解答】：如下圖，依據圖形的對稱性，
知所求面積等於第一象限內部分圖形面積的2倍. 選取
練習5：計算阿基米德螺線
【參考解答】：所圍圖形為曲邊扇形，如下圖.
於是由極坐標系下的面積計算公式，得
練習6：求極坐標系下曲線
【參考解答】：兩曲線交點為
由於圖形的對稱性，因此有
練習7：一平面經過半徑為
【參考解答】：建立坐標系如下面三個圖形，對應三個思路.
【思路一】 以圖中直徑建立
故立體的體積為
【思路二】 以圖中半徑建立
故立體的體積為
【思路三】 以圖中半徑建立
所以截面部分的面積為
所以立體的體積為
練習8：兩個半徑為
【參考解答】：由對稱性，如下圖，畫出了該立體的
過
從而所求立體的體積為
練習9：計算由橢圓
【參考解答】：【思路一】 旋轉球體可看作由上半橢圓
與
【思路二】 利用橢圓參數方程. 由對稱性，第一象限內橢圓的參數方程為
故得體積為
【注】特別，當
練習12：求圓形區域
繞
【參考解答】：如下圖所示.
上半圓的方程為
下半圓的方程為
【思路一】 由旋轉體體積計算公式，得
由於定積分
從而
【思路二】 由柱殼法，
【注】該旋轉體的形狀為一圓環胎，如下圖所示. 其體積等於
計算結果也可以變形為
此式反映了環體微元的另一種取法，截面為橫截面，高為圓弧
練習13：計算曲線
【參考解答】：由弧長計算公式，所求弧長為
練習15：計算阿基米德螺線
【參考解答】：由弧長計算公式，所求弧長為
練習16：求星形線
【參考解答】：根據對稱性，星形線的參數方程為
於是曲線段的長度為
練習17：設
【參考解答】：對等式兩端求導，得
由弧長計算公式，得
故曲面的側面積為
練習18：
【參考解答】：
當
由
由圖形對稱性可知
練習19：求曲線
【參考解答】： 由對稱性，在第一象限區域函數為
練習20：設平面圖形
【參考解答】： 選取
若選取