虛數：一個虛構指數的幾何意義

毫無疑問，e是電氣工程的支柱，它的「虛數」指數隨處可見:量子理論、電路，甚至理論數學。e^i這個表達式在我們給它定義和解釋之前沒有任何意義。我們將從討論指數e^i開始，然後逐步解釋更複雜的形式i^x

在深入研究這個問題之前，需要對虛數單位i進行快速描述。它通常被認為是「虛數」，因為這個值在標準數軸上不存在。這裡我將對i和一般複數進行不同的解釋，所有複數的集合通常稱為複平面，有一個很好的理由:複數可以寫成這種形式

對於兩個實數a和b，我們可以用平面上的點（a，b）來表示這個複數，這樣我們就可以把x軸看作「實」軸，y軸作為「虛」軸。就像平面上的點一樣，我們可以把複數看作是向量空間的一部分（也就是說我們可以把它們相加），但是複平面也含有乘法結構運算。與一個實數相乘對應的是複數的「拉伸」，但與i相乘實際上代表了90度的旋轉。讓我們來看幾個例子:

如果我們把1看作是水平軸上單位長度的向量，那麼乘以i等於旋轉90度，這將使它與y軸上的單位向量對齊，即虛單位i。

這個方程將i解釋為-1的平方根。一個更好的解釋是從1開始，旋轉90度使它垂直於X軸，再旋轉90度迫使它回到x軸上，但指向左邊。更幾何的解釋如下所示

從i的角度來看，我們可以對表達式i^n構建一個有意義的解釋:它表示n個連續的90度旋轉，或n*π/2的總旋轉。這個函數的循環性質，在值{1，i，-1，-i}之間循環，如下所示。

現在我們有了足夠的背景知識來討論虛數冪的含義。看我們之前對指數的解釋，e^i表示在一個時間單位內以i速率增長的結果。事實上，因為i只是一個旋轉，我們可以猜測「以i的速度增長」可能真的意味著「旋轉」，但要相信這個猜測，我們將需要一些證明。對於這個問題，回到我們對e^r的定義即增長率r除以單位區間的極限

但這一次，增長率是一個90度的旋轉:i。現在，我們將把這個作為e^i的定義

和之前一樣，我們會通過觀察有限情況來獲得一些直觀的認識，從而達到極限。假設n=5，這個可以寫成

在這裡我們可以將括號中的每個量視為對向量1進行處理的一組「方向」向量。在集合之後，我們有了新的向量1+i/5，這可以解釋為保持向量1不變，給它加上一個旋轉90度，再縮小5倍的值

將第二組括號相乘，然後將這個新的矢量作為輸入，並將其自身的一個副本旋轉90度，並將其壓縮到正常長度的五分之一

執行接下來的三組方向，我們看到如下圖片出現:

因此，在我們最初的猜測中，似乎存在某種東西，即虛指數對某種旋轉進行編碼，在上面的圖中，我們可以看到，隨著每次旋轉，矢量的長度會略微增長。但是當我們在極限中取越來越大的項時，長度的增加會越來越小，實際上，在極限中，我們從向量1開始，在正方向上對它進行無窮小的旋轉，然後我們一遍又一遍地重複這個過程，慢慢地將原始向量向正方向旋轉得越來越多。我們的極限值就是

我們可以通過數值計算，看到它到達點(0.540302,0.841471)。點在到達終點的路上所追蹤的極限路徑如下圖所示。