猴子分桃的神奇解法,從初等數學到不動點|袁嵐峰

2020-12-05 騰訊網

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五隻猴子分桃子，你知道這個巧妙的解法嗎？

1979年，李政道回國講學，訪問了中國科學技術大學（李政道1979年回國講學活動及其影響 | 返樸）。科大少年班的設立，就源自李政道1974年向毛澤東、周恩來的建議。

面對少年班的同學，李政道即興出了一道題：「有五隻猴子，分一堆桃子，可是怎麼也平分不了，於是大家同意先去睡覺，明天再說。夜裡，一隻猴子偷偷起來，把一個桃子扔到山下後正好可以分成五份，它把自己的一份收藏起來就睡覺去了。第二隻猴子起來也扔了一個剛好分成五份，也把自己那一份收藏起來。第三、第四、第五隻猴子都是這樣，扔了一個也剛好可以分成五份。問一共有多少桃子？這個問題有一個很巧妙的解法。」

我來告訴大家這個巧妙的解法：-4 + 55= -4 + 3125 = 3121。你看明白了嗎？

如果不明白，請思考一會兒。

思考好了嗎？我來解釋一下。

這是一個不定方程問題，可以有無窮多的解。假如n是一個解，那麼顯然n + 5^5也是一個解。問題在於，如何找出一個n的特解呢？

一個神奇的特解是：n = -4。

想想這是什麼意思：最初有-4個桃子，一隻猴子扔了一個桃子，變成了-5個桃子。然後它拿走了-5的1/5，也就是-1個桃子，於是剩下的桃子又變成了-4個。後面的猴子重複前面的操作，每次都是扔掉-1個，自己拿走-1個，所以剛好抵消，這個操作可以無限地進行下去。用數學術語說，-4是這個體系的一個不動點。

由此可見，-4確實是一個特解。那麼最小的正整數解就是-4 + 3125 = 3121。這個解法據說來自偉大的數學家懷特海（Alfred North Whitehead，1861 - 1947）。你明白了嗎？

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