N次方程求根公式歷史

2021-01-09 物理Note

ax+b=0

ax^2+bx+c=0

ax^3+bx^2+cx+d=0

……

三次方程求根

- Italy 費羅，France 伽羅瓦-

古希臘人已經有了二次方程的求根公式；

16世紀，義大利數學家費羅，給出了三次方程

x^3+mx+n=0

的解。

看起來，這個方程似乎不具有一般解的意義，因為少了x的二次方項。但實際上，任何形式的三次方程都可以化為這種形式，也就是說，費羅的求解具有一般性。

接下來，大家要考慮四次，五次，和更高次方程的根式解。

其中，五次方程在很長一段時間內，沒有人能得到解的形式。於是，有人開始考慮是否五次方程沒有根式解。。。

挪威的阿貝爾，17歲寫了論文，給出了五次方程的求解。但後來他發現這個結果是錯誤的。於是在21歲，再次寫論文，證明了五次方程不存在根式解，這次他對了，而且最早用到了群論的基本思想。

同樣有此成就的是法國的伽羅瓦，他用群論的思想，不僅證明了五次方程沒有根式解，還給出了高次方程中哪些具有根式解，哪些沒有。21歲與人決鬥時，身中三槍而亡。

他們的基本思想是：一般性的一元多項式方程有沒有根式解，等價於，這個多項式對應的對稱群Sn是否為可解群，n=1，2，3，4時是可解群，n大於等於5時是不可解群。即5階以上對稱群是不可解群。

補充說明：

沒有根式解不是說沒有解。比如x^5-2=0, x就是2開5次方；比如，x^5-x+1=0，plot一下可以得到：

可以看到，這個方程有一個實數解，四個複數解。

根式解的意思是：它在複數域內的所有根都可通過上述係數域內的開有限次方以及加減乘除這五種運算的有限次運算表示出來。

參考：https://www.zhihu.com/question/21441009《理工男有話說》

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