數學經典:詳解卡爾達諾三次方程求根公式的推導原理

2021-01-09 電子通信和數學

卡爾達諾（1501年9月24日 ~1576年9月21日)是大利文藝復興時期百科全書式的學者，他最著名的成就是推導出了三次代數方程的解法，即卡爾達諾公式

我們在處理3次方時，發現了一些很讓人期待的東西，這兩個中間項有公因式3uv

如果我們提出來，就得到這個東西

現在，我們能夠這樣對齊

如果我們能夠設法找到u,v使得標顏色的區域對應相等，那麼3次方程就能夠轉換成一個完美的3次方程，這樣就能夠求解了

這取決於能否求解綠色和黃色區域裡的等式，這裡的X=u+v

首先對綠色區域裡的等式，兩邊進行3次方運算，黃色區域裡的等式兩邊乘以v^3

這樣得到了公共項，然後我們就能這樣的帶進去

這其實只是一個偽裝過的2次方程，把v^3看成一個未知數，我們用2次求根公式求出v^3，然後兩邊開3次方根就得到這個式子

還記得嗎，在這幾個式子裡，u和v時不可分割的，如果我們求u，我們得到的是同一個答案

現在答案有正負號，我們貌似對u和v每個都求出兩個解，這樣u+v就總共有3個可能

兩個都是減號，兩個都是加號，一加一減，一減一加得出的是同一個答案，而3次方程正好至多有3個根

然後把這三個根帶入方程，你會發現，只有一加一減才是3次方程的一般解

為啥其他兩個都是錯誤的呢？你能否想明白理由？

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  • 求解二次方程的新方法
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  • 數學家研究七次方程求根的世紀難題,打開了一扇新的數學大門
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    古代中國、希臘和印度等地的數學家，都曾努力研究過一元三次方程，但是他們所發明的幾種解法，都僅僅能夠解決特殊形式的三次方程，對一般形式的三次方程就不適用了。　　在十六世紀的歐洲，隨著數學的發展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數學文獻上，把三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」，這顯然是為了紀念世界上第一位發表一元三次方程求根公式的義大利數學家卡爾丹諾。
  • 一元三次方程的故事
    然而對一元三次方程的求解卻使眾多的數學家們陷入了困境，許多人的努力都以失敗而告終。1494年，義大利數學家帕西奧利（Luca Pacioli ，1445–1517）對三次方程進行過艱辛的探索後作出極其悲觀的結論。他認為在當時的數學中，求解三次方程，猶如化圓為方問題一樣，是根本不可能的。這種對以前失敗的悲嘆聲，卻成為16世紀義大利數學家迎接挑戰的號角。
  • 這個無解的方程，拉開了現代數學的帷幕
    而在代數數論中，伽羅瓦群是最核心的對象，它與「表示論」的融合則是另一個現代數學的宏偉建築——朗蘭茲綱領的夢想，其與上面提到的 Motive 理論也是有機結合在一起的，它們共同構成了我們稱之為算術幾何領域中壯闊的綱領藍圖。五次方程：有沒有求根公式？我們重新回到群論源頭的那個歷史難題：一般的五次方程是否有通用的根式求解？
  • 美國人發明了「新」一元二次方程求根公式?
    美國奧數總教頭羅博深發現了一個關於一元二次方程的新解法，還寫了一篇論文A simple proof of the quadratic formula掛在了著名的學術論文網站arxiv上——當年俄羅斯大神Perelman證明Poincare猜想的時候，三篇論文也是掛在這裡而沒有選擇傳統的學術期刊進行發表的。