數學新視野:為什麼我們的課本從來不講授有關一元三次方程的內容

2021-01-09 電子通信和數學

前面兩邊文章《數學經典：詳解卡爾達諾三次方程求根公式的推導原理》《從高等數學的觀點出發，推導出一元三次方程根的表達式》詳細討論了三次方程根的判別式和推導原理，但我們初高中，大學從不會提及有關一元三次方程的內容，看完本篇你就明白了

義大利百科全書式的科學家卡爾丹諾(1501年9月24日 ~1576年9月21日)發現了一元三次方程的求根公式後，將代數學向前邁進了一步：如下是三次方程一般形式的求根公式

經過變形後另得到一種形式下的公式就是

如下面的一元三次方程的解就是4

我們換一種形式，卡爾丹諾公式在處理此類方程式時遇到了問題

毫無疑問，遇到了根號下的負數，在那個負數模糊不清的時代，卡爾丹諾在處理此類方程式感到很恐慌，因為根號下的負數到底時什麼意義，誰都不知道

但這個方程的確有三個實數解，帶入方程完全成立，而卡爾丹諾公式中卻出現了根號下的負數，這是怎麼一回事？我們該怎麼解決。卡爾丹諾公式和這三個實數解如何轉換是擺在數學家面前的問題，

我們用一元三次方程的判別式，很容易得到該方程有三個實數解，

如下是卡爾丹諾公式得出的方程解：根號下是複數

用現在數學知識，用複數的概念定義得到如下結果

這兩個複數，我們可以用距離和角度去定義，這就意味著我們能偶把複數用sin和cos寫成這個形式

真美，複數的這種寫法叫做極坐標形式

找出這總形式的複數的3次方根很簡單

上式開立方根後就是，這樣就把3次方根都開出來了

上式兩個複數相加，複數的虛部分別削去後留下了一個實數，這就是其中的一個實數解，但這不是全部

目前我們只是用了卡爾達諾求根公式兩個項開3次方根後的其中一個3次方根，每一項都還有2個3次方根還沒用。

其他的3次方根在一起，能夠組成兩個以原點為中心的等邊三角形的頂點，6個三次方根總共組成了3對共軛，把這3對共軛進行加法運算，就得到了3次方程的全部3個實數解

所以我們在處理複數時，3次方根不再唯一，就像每個非0複數有兩個平方根一樣，每個非0複數都有3個3次方根，沒有特殊的區分方式可以讓他成為"僅有的3次方根"卡爾達諾的3次方程求根公式僅能夠得到簡單的整數解，有理數解，但經過複雜的運算，任何求根公式都不能擺脫複數帶來的詭異。這個結論可以用一個重量級的武器解決：伽羅瓦理論

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