今天我們接著講三角形三邊關係的巧用。
類型三：解答等腰三角形相關問題
例1：若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個三角形的周長為（ ）
A．9 B．12 C．7或9 D．9或12
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和2，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關係驗證能否組成三角形．
【解答】解：當腰為5時，根據三角形三邊關係可知此情況成立，周長＝5+5+2＝12；
當腰長為2時，根據三角形三邊關係可知此情況不成立；
所以這個三角形的周長是12．
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關係；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．
例2：已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【分析】分6是腰長和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關係判斷，然後根據三角形的周長的定義列式計算即可得解．
【解答】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長＝6+6+5＝17；
②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長＝6+5+5＝16．
綜上所述，三角形的周長為16或17．
故選：D．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關係，難點在於分情況討論．
例3：已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC為奇數．
（1）求△ABC的周長；
（2）判斷△ABC的形狀．
【分析】（1）首先根據三角形的三邊關係定理可得5﹣2＜AC＜5+2，再根據AC為奇數確定AC的值，進而可得周長；
（2）根據等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形．
【解答】解：（1）由題意得：5﹣2＜AC＜5+2，即：3＜AC＜7，
∵AC為奇數，∴AC＝5，
∴△ABC的周長為5+5+2＝12；
（2）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關係，關鍵是掌握第三邊的範圍是：大於已知的兩邊的差，而小於兩邊的和．
類型四：三角形的三邊關係在代數中的應用
例4：已知a，b，c是一個三角形的三條邊長，化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|．
【分析】根據三角形三邊關係得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a+b＞0，再去絕對值，合併同類項即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是一個三角形的三條邊長，
∴﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|
＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a﹣b
＝a﹣b+c．
故答案為：a﹣b+c．
【點評】考查了三角形三邊關係，絕對值的性質，整式的加減，關鍵是得到﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a+b＞0．
類型五：利用三角形的三邊關係說明邊的不等關係
例5：如圖，已知D、E是△ABC內的兩點，問AB+AC＞BD+DE+EC成立嗎？請說明理由．
【分析】結合圖形，反覆運用三角形的三邊關係：「兩邊之和大於第三邊」進行證明．
【解答】答：成立；
證明：延長DE交AB於點F、延長DE交AC於G，
在△AFG中：AF+AG＞FG①，
在△BFD中：FB+FD＞BD②，
在△EGC中：EG+GC＞EC③，
∵FD+ED+EG＝FG，
∴①+②+③得：
AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC，
即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC，
AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC，
∴AB+AC＞BD+ED+EC．
【點評】考查三角形的邊的不等關係時，要注意三角形的三邊關係：任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊．
至此，我們把三角形三邊關係的巧用的幾種類型題全部介紹完畢，希望對你的學習有所幫助！