Kernel PCA同時把升維和降維統一在一起，這個算法是一個矛盾的統一體，其高效的性能背後閃爍著辯證法思想的光芒！
矛盾是事物要素之間或事物之間既對立（相互排斥）又統一（相互聯繫）的關係。在機器學習中，我們辯證地思考問題，就是用聯繫的、發展的、全面的觀點，特別是用對立統一的觀點認識問題、解決問題。
低維與高維的辯證
增加維度：試圖模擬真實世界
這個世界很複雜，所以，在應用機器學習技術中，人們試圖模擬真實世界，捕獲有用的模式並獲得更準確的結果，所以傾向於添加儘可能多的特徵。
有些人認為維度越多越好，恨不得弄個成千上萬個特徵，以體現大數據功勞。但是，你添加到數據集的維度越多，預測就可能越來越困難。特別地，在某一點之後，模型的性能會隨著特徵數量的增加而降低，甚至，會導致預測能力呈指數下降。這種現象通常被稱為"維度詛咒"。
舉一個簡單的例子，假設你正在使用模型來預測25cm 2培養皿中大細菌的位置。在將粒子固定到最接近的平方釐米時，該模型可能相當準確。但是，假設現在只添加一個維度：使用3D燒杯而不是2D培養皿。預測空間呈指數增長，從25cm2增加到125cm3。添加更多維度時，計算負擔也會增加。要確定3D模型中細菌的位置是不可能的。這是一項更具挑戰性的任務。
一方面，獲得更多的特徵是為了更加精確的刻畫數據間的關係，模擬真實世界；另一方面，太多的特徵會導致維度詛咒，模型複雜、性能降低。
降低維度：去粗取精並降低過擬合風險
摺疊特徵。可以通過簡單的垃圾電子郵件識別問題來討論降維的直觀示例。這可能涉及大量特徵，例如電子郵件是否具有通用標題、電子郵件的內容、電子郵件是否使用模板等。但是，這些特徵中的一些可能會重疊。在另一種情況下，依賴於溼度和降雨量的分類問題可以通過PCA摺疊成僅一個基礎特徵，因為兩者高度相關。因此，我們可以減少此類問題中的特徵數量。
降維促進可視化。3-D分類問題可能難以可視化，而2-D分類問題可以映射到簡單的2維空間，而1-D問題可以映射到簡單的線。下圖說明了這個概念，
降維促進加強你的算法。比如在應用SVM前執行PCA會給我們帶來不少的加速。所以，如果保持維度足夠簡單，還是有不少利好。一個很好的例子是物體檢測中的HOG特徵。PCA在HOG特徵向量上執行。仔細觀察特徵向量可以看出，簡單的維度減少只是總結了不同的特徵組，這樣就足夠了，這給了2到3倍的加速。
提高泛化能力，降低過擬合風險。降維後由於模型具有較少的自由度，因此過度擬合的可能性較低，該模型將更容易推廣到新數據。此外，如果我們使用降維，進行特徵篩選，將促進重要變量的呈現，這樣有助於提高模型的可解釋性。
維度降低不會使數據更加可分離，通過減少壓縮特徵，會產生信息損耗，這種信息損耗可能對學習模型的推廣有用，即它對未見數據的性能會增加。
核方法升維：分離數據的差異性並高效工作
與非核方法相比，更高維度空間在現實世界問題中更加真實，能夠揭示數據中的非線性關係，核方法將數據投影到高維特徵空間。通過映射，把原始空間中數據間的差異在更多維度的新空間中放大、分離，實現線性可分的目的。
核方法的本質作用，就是尋找核函數將我們數據"分散"到Hilbert空間，實現數據間的比較。粗略地說，內核或多或少是一個相似性矩陣，核方法可以將天真的比較方式，即原始空間中的常規點積，切換為最適合數據的核方法。然後，通過數學變換增加空間中比較的維度。確切地說：將數據映射到更高維度的空間（RKHS），甚至可以具有無限維度（若用RBF），並且在該空間中使用了點積。基於核方法的主要技巧是你從未明確地將數據映射到RKHS - 這就是它可以工作的原因。所有的工作都是通過在兩個樣本上應用你的核函數來完成的。直觀地說，核方法只是為你提供了一種更好的方法來比較你的數據：沒有真正明確地向你的數據添加維度，僅僅用一種比較它們的更合適的方法而已。
使用內核的全部魔力是不必在RKHS中明確使用點積，它由核方法保留在引擎蓋下！否則，您甚至無法計算兩個向量的徑向基核函數,因為具有無限維度。這個技巧讓RKHS高效工作。
可見，降維和升維各有長處並有其目的性，這似乎是很矛盾的！然而這兩個方法卻可以一起高效合作，這體現了辯證的統一思想。
線性與非線性的辯證
要分清數據的線性、數據線性可分兩組概念。本文主要指後者。
數據的線性與非線性
線性指量與量之間按比例、成直線的關係；而非線性則指不按比例、不成直線的關係。非線性中使得整體不再是簡單地等於部分之和，而可能出現不同於"線性疊加"的增益或虧損。比如，雷射的生成就是非線性的！當外加電壓較小時，雷射器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當外加電壓達到某 一定值時，會突然出現一種全新現象：受激原子好像聽到"向右看齊"的命令，發射出相位和方向都一致的單色光，就是雷射。
線性可分與非線性可分
分類問題中的線性可分問題。線性可分是指有一些函數可以將兩個類分開，這兩個類是輸入變量的線性組合。例如，如果有兩個輸入變量，x1並且x2有一些數字theta1，theta2那麼函數f(x)=theta1.x1 + theta2.x2就足以預測輸出。在二維中，這對應於直線，在3D中它變成平面並且在更高維空間中它變成超平面。
下圖是在二維空間中線性不可分的數據，形狀像同心圓，無法用一條直線分開。
但是，如果我們給每個點一個額外的坐標比如z=1 - sqrt(x*x + y*y)，那麼問題就變得線性可分，因為紅色和藍色點可以通過一個二維平面z=0分開。
這些形象展示了核技巧背後的思想：
將問題映射到具有更多維度的空間使得問題更可能變得線性可分。
線性可分與非線性可分在核方法中是辯證的統一：在低維空間中數據線性不可分，通過映射到高維空間中是可線性可分的；而高維空間中線性可分返回到低維空間中又是非線性可分的。所以這兩者是矛盾而統一的。
Kernel PCA實現降維與升維、線性與非線性的辯證統一
核主成分分析（Kernel PCA），是對PCA算法的非線性擴展。
傳統PCA無法實現非線性投影
PCA是線性的，其對於非線性數據往往顯得無能為力。
PCA降維試圖找到數據被限制的低維線性子空間，但數據可能是非線性。如下圖：
這裡的數據點（左側）主要位於2D的曲線上。PCA不能將維數從2減少到1，因為這些點不是沿直線定位的。但是，數據"顯然"位於一維非線性曲線周圍。因此，雖然PCA失敗，但必須有另一種方式！實際上，Kernel PCA可以找到這種非線性流形並發現數據實際上幾乎是一維的。
總結一下。
Kernel PCA把Kernel升維和PCA降維兩種方法有機的融合在一起。
第一、通過將數據映射到更高維空間來實現。這看起來非常矛盾：核方法尋求更高維度，而PCA尋求更低維度。降維與映射到高維，這是兩個相反的方向！但事實並非如此。數據被映射到更高維度的空間，但隨後變成位於它的較低維度子空間。因此，先增加維度以便能夠降低維度。在這裡增維與降維實現了辯證的統一。
第二、之所以KPCA發揮作用，源於數據在低維空間中，無法尋找到線性子空間進行降維；但通過核方法映射到高維空間中，可以清晰的找到線性子空間進行降維投影，返回到低維空間中，是非線性投影（非線性流行）。在這裡線性與非線性實現了辯證的統一。
KPCA算法實現的關鍵
KPCA將原來X映射到Φ（x)，在新空間中計算協方差。
PCA的目標函數，是在原維度空間中對新基（特徵向量）投影的方差尋找最大化：
KPCA目標函數，是映射到新維度空間中對新基投影的方差尋找最大化：,
其中：
KPCA與PCA的對比
下圖是二維空間中類似兩條曲線的數據分布：
如果應用普遍的線性PCA，那麼變換後的前兩個主成分如下，只是倒了個，並沒有提高區分能力。
如果應用高斯核PCA，那麼降維後，前兩個主成分如下，顯然可分。
特別是其第一個主成分，一目了然，實現了流形向線性的投射，並且嚴格分開。
分類與聚類的辯證
PCA方法是一種無監督的聚類技術，然而在上面的圖形中，仿若我們是在做分類，而且似乎做的很好。機器學習的最高境界實際上是無監督技術，是未來的發展方向，能夠不利用標籤就能正確聚類（分類）代表著算法的高度智能。所以聚類做的達到一定程度，是能夠比擬分類的。聚類在一定程度向矛盾的對立面分類轉化。這就是辯證法中的「你中有我，我中有你」，在一定程度相互轉化，是統一的。
如果有一個未標記的數據集，聚類讓我們來獲得大量洞察力。可以使用不同的群集算法將數據自動分組到多個群集中，揭示屬於特定群集的數據的共同點。如下圖所示，創建了5個聚類，揭示具有不同特徵的人。
我們知道在聚類中，譜聚類對數據分布的適應性更強,有著出色的聚類效果！而本講中的Kernel PCA在著與譜聚類的某種類似程度。
譜聚類首先將原始數據映射到一個新的空間，然後做Kmeans。譜聚類的前半部分相當於Kernel PCA。Kernel PCA對核函數映射過的相似度矩陣進行特徵值分解，而譜聚類對拉普拉斯矩陣（也是相似度）進行特徵值分解。如果說普通PCA是將原始數據進行正交變換映射到新的空間，那麼譜聚類和Kernel PCA就是對原始數據進行某種非線性變換映射到新的空間，並在新空間中進行降維。
很多時候對數據進行線性變換仍然無法獲得良好的可分性，但引入非線性性則可能做得到，這也是核方法存在的意義，從這個角度上看,聚類又為有監督的分類提供了基礎。聚類與分類可以一起共同完成一個任務，效果更好，這就是辯證法中的同一性原理，統一推動事物的運動變化，構成了事物的發展！