數學中常見輔助線的添加技巧 你值得擁有!

2021-03-01 數學好教師

如遇條件中有中點,中線、中位線等,那麼過中點,延長中線或中位線作輔助線,使延長的某一段等於中線或中位線;另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線,以達到應用某個定理或造成全等的目的。

如遇條件中,有垂線或角的平分線,可以把圖形按軸對稱的方法,並藉助其他條件,而旋轉180度,得到全等形,這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,有時邊角互相配合,然後把圖形旋轉一定的角度,就可以得到全等形,這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心,因題而異,有時沒有中心。故可分「有心」和「無心」旋轉兩種。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,欲證線段或角的和差積商,往往與相似形有關。在製造兩個三角形相似時,一般地,有兩種方法:第一,造一個輔助角等於已知角;第二,是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣:「造角、平、相似,和差積商見。」

如果條件中出現兩圓相交,那麼輔助線往往是連心線或公共弦。

如條件中出現兩圓相切(外切,內切),或相離(內含、外離),那麼,輔助線往往是連心線或內外公切線。

如果條件中出現圓的切線,那麼輔助線是過切點的直徑或半徑使出現直角;相反,條件中是圓的直徑,半徑,那麼輔助線是過直徑(或半徑)端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。 如果條件中有直角三角形,那麼作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓,或半圓;相反,條件中有半圓,那麼在直徑上找圓周角—直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。

如遇弧,則弧上的弦是輔助線;如遇弦,則弦心距為輔助線。 如遇平行線,則平行線間的距離相等,距離為輔助線;反之,亦成立。 如遇平行弦,則平行線間的距離相等,所夾的弦亦相等,距離和所夾的弦都可視為輔助線,反之,亦成立。 有時,圓周角,弦切角,圓心角,圓內角和圓外角也存在因果關係互相聯想作輔助線。

如遇求面積,(在條件和結論中出現線段的平方、乘積,仍可視為求面積),往往作底或高為輔助線,而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。 如遇多邊形,想法割補成三角形;反之,亦成立。 另外,我國明清數學家用面積證明勾股定理,其輔助線的做法,即「割補」有二百多種,大多數為「面積找底高,多邊變三邊」。

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