永恆的哈代

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控制論的創始人、美國數學家諾伯特·維納曾經這樣評價：從未有誰對數學的講解能達到哈代那樣一種明晰、充滿趣味、富有智慧的境界。

20世紀分析數學的12座豐碑

法國數學家 Choimet 與 Queffélec 在其《20世紀分析數學的12座豐碑》一書，選用了英國數學家哈代與利特爾伍德的一幅合影作為封面。躋身於前蘇聯數學家蓋爾芳德（Israel Gelfand）、美國數學家維納（Norbort Wiener）、沃爾夫（Thomas Wolff）、瑞典數學家卡爾松（Lennart Carleson）與霍曼德（Lars V. Hörmander）等一流分析數學大師中，而且被列為封面人物，對哈代而言可謂是實至名歸。

羅素（Bertrand A. W. Russel，1872-1970）

公眾心目中，可能最為世人稱道的是哈代慧眼識珠、提攜印度數學家拉馬努金的傳奇故事。幾年前，英國還拍出了一部關於拉馬努金的電影《知無涯者》。電影片頭引用了羅素的一段話：

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supereme beauty.

公正地說，數學不單單擁有真理，還擁有非凡的美。

哈代曾寫過一本流傳甚廣的小書，名為《一個數學家的辯白》。那本書裡最打動人的一句話也是如此：

Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.

美是鑑別數學的第一標準。醜陋的數學不可能享有永久的席位。

數學美究竟是什麼樣的呢？幾年前，阿蒂亞約人做了個試驗，讓一群人觀摩一組數學公式，同時記錄腦的磁共振成像，如此來評估人們對不同公式的美感反應。結果排名第一醜的卻是拉馬努金所發現的極為威猛的計算圓周率的無窮級數。真不知九泉下的哈代該做何想？拉馬努金可算是哈代最欣賞的天才了。但「數學美」對芸芸眾生往往只是貼上了高雅標籤的談資。若沒有足夠的理論素養，我們這些普通人其實很難理解數學裡最深刻的美。

據說拉馬努金創造出的這個計算圓周率的厲害的公式，竟然被評為最醜的數學公式。

若粗淺地領略哈代一派的數學風採，也許可以讀讀他的兩本廣為流傳的教材，一本是《純數學教程》，另一本是他和利特爾伍德、波利亞合著的《不等式》。當然，還少不了他最著名的小書《一個數學家的辯白》。哈代的這本《純數學教程》和他作為英國分析數學事實上的旗手，其實大有說頭。

英國是微積分的故鄉，但偉大的牛頓賦予微積分的是自然哲學的靈魂。牛頓之後的英國以劍橋為中心，湧現出了一批傑出的自然哲學（數學物理學）學者，比如斯託克斯（Sir G. Stokes）、麥克斯韋（J. C. Maxwell）、湯姆遜（W. Thomson，即開爾文勳爵Baron Kelvin）、狄拉克（P. Dirac），還有2018年去世的霍金（S. Hawking）。然而，以自然哲學的理念支撐的數學物理學，在分析數學意義下的嚴密性總歸是令人猜忌的。比如曾經轟動一時的圍繞Riemann猜想的所謂阿蒂亞（Atiyah）證明，最終似乎草草了事。雖然事主是拿過菲爾茲數學獎的大學問家，可是在分析數學中諸如Riemann猜想這類頂級問題上，嚴密性決定成敗。

歷史上，英國數學家的總體水準向來超然於世。優秀的數學物理學的傳承之外，英國還為19世紀奉獻了矩陣、向量、四元數等。但在事關分析數學的嚴密性理論建樹上（比如無窮級數收斂性、函數論等等），直到19世紀末，英國卻沒有出現令人刮目相看的分析數學的聖手。這與出現了柯西、維爾斯特拉斯的歐洲大陸反差巨大。或許，探索期的數學需要自然哲學的引領，但在經典物理學逐步成熟之際的19世紀末，數學和哲學的總體學術潮流步入了冷靜的整理時段，分析精神引領了潮流。

可惜，19世紀末在歐洲大陸興起的康託爾、戴德金等人的學問似乎並未流行於劍橋。劍橋的數學榮譽排名考試（Cambridge Mathematical Tripos），頑固地堅守著牛頓時代的傳統，考題圍繞著解決物理問題的數學技巧，卻並不關注數學自身的嚴密性問題。對此等學術格調鄙視至極的羅素，在其唯一認可的數學老師懷德海的慫恿下，加入了劍橋著名的精英小群體「使徒社」（The Society of Apostles）。之後，羅素一發不可收地沉醉於柏拉圖、休謨等人的著作。當然，聰明過人的他最終還是以第7名的成績通過了 Tripos 考試。這之後就是大家熟知的羅素與老師懷德海折騰個半死搞出了極度考究邏輯的《數學原理》半成品。可惜，這部著作代表的觀念被羅素的愛徒維根斯坦鄙視得不輕，書最終也沒能完成。那一時期幾路參與數學基礎大論戰的豪傑，似乎彼此互不買帳。而羅素與懷德海的大磚頭，據說只有一個牛人哥德爾認真地讀了。數學基礎，邏輯學，這些恐怕都是超級燒腦的大學問。所幸的是，在精神世界之巔，總還有那麼幾個瘋狂地追求邏輯、追求真理的求道派，擔當起了理性的脊梁。凡夫俗子眼裡，越是追求邏輯嚴密性，越是容易在精神上走極端。康託爾、羅素、維根斯坦、哥德爾這群偉大的瘋子們精神瀕臨崩潰的許多故事，絕非偶然。

劍橋使徒社

同在三一學院，哈代比羅素小了幾歲。彼時他讀到法國巴黎高工約旦（Jordan）的分析數學教程，內心震顫於歐洲大陸的嚴密風格，那種嚴密性恰好是當時英國傳統裡非常缺乏的。當然，與羅素關注數學自身的邏輯基礎有所不同，哈代聚焦的是分析數學中具體的嚴密性問題。自1901年起，哈代就開始在數學分析領域持續發表水平不凡的論文。到1907年，以微積分和無窮級數為主旨的《純數學教程》正式出版。自劍橋大學開始，英國各個大學的數學教學皆奉哈代的教材為至寶，紛紛更改了教學大綱。英國終於有了可以與歐陸媲美的嚴格講解微積分的教材。此後，這本教程不斷修訂，到1943年已經出了第9版。如今這部《純數學教程》早已成為世界各地學習微積分的標準參考書了。

維納（Norbert Wiener，1894-1964）

為什麼哈代的教材能夠深入人心？因為哈代在數學上無與倫比的明晰、嚴謹但又保持了極好的可讀性。自視甚高的美國數學家維納，就曾對哈代讚不絕口：

In all my years of listening to lectures in mathematics,I have never heard the equal of Hardy for clarity, for interest, or for intellectual power. If I am to claim any man as my master in my mathematical thinking, it must be G.H. Hardy.

在我聽過的所有數學講座中，從未有誰對數學的講解能達到哈代那樣一種明晰、充滿趣味、富有智慧的境界。如果要讓我來確認誰是我數學思維的導師，那個人必然是哈代無疑。

年輕學者受到哈代指點的，其實還有不少例子。比如1930年代圖靈在普林斯頓攻讀博士學位時，恰好哈代與柯朗也在那裡訪問。圖靈的數學也因此得到了哈代的教誨。其實圖靈在計算機科學之外，還在演化動力學方程上做過漂亮的工作。而維納對哈代的敬佩，更是事出有因。

維納曾與劍橋學派的青年數學家帕雷（Raymond Paley）有過一段美妙的合作。坦率地說，在維納多方面的學術成就中，最該令人刮目相看的一座高峰，就是在研究信號的濾波時，維納與帕雷合作貢獻出了令人驚嘆的帕雷-維納定理（Paley-Wiener Theorem）。這個深刻的定理，揭示了能量有限的信號，經過低通濾波之後，必然呈現出指數型整函數的結構，而且，反之亦然。在以往的信號處理教材裡（比如希臘學者Papoulis的《信號分析》），這個深刻的定理一直就是必修內容，但在近年來一輪又一輪所謂數位化的時髦中，前輩學者創造出的不少精品因為太難而被當作垃圾扔到一旁。多少人神遊在虛幻的數字域，卻忘掉了物理信號的理論根基。如果我們去讀這個定理冗長的論證，就會發現它綜合了複變函數論與傅立葉分析裡相當深刻的知識，一長串令人望而生畏的硬分析技巧。而這位帕雷，正是利特爾伍德在劍橋指導的研究生。不幸的是，受教於伊頓公學與劍橋、像其導師一樣酷愛體育的健將帕雷，在加拿大班夫滑雪時遭遇雪崩，年僅26歲就英年早逝。假若沒有這一場雪崩，帕雷很可能會是英國分析數學的一代旗手。據說，珍視人才的哈代，曾經哀嘆帕雷與拉馬努金的早逝。26歲本該是金色年華，這個年齡的牛頓已經是劍橋的教授，這個年紀的拉馬努金才剛剛進入劍橋開始接受哈代嚴格的數學訓練，但這個年齡已經初露鋒芒的帕雷，卻死於一場運動冒險帶來的意外。

哈代既是一位成就斐然的數學家、也是一位天才的教師。其寫作風格樸實但又十分明晰。其《純數學教程》中的習題量相當大，而且多是從劍橋的榮譽數學等級考試（Tripos）中精選出來的，不同於一般教科書局限於純技術性的思維體操式訓練，哈代的教材對數學思維的考驗無所不在。可以說，這本書其實是一位高明的分析學家對微積分入門者的一組綜合訓練。它既沒有走到幾十年後那種以軟分析為標杆的宏大敘事框架、沒有陷入繁瑣的概念體系卻難以學到解決具體問題的尷尬、沒有摒棄英國數學物理優秀傳統。比方說，在第9章雜例部分的第40題，給出了Napier計算對數的一個精妙的近似手法。從這一類習題看，完全不弱於俄羅斯流派強調的硬朗計算的訓練。特別是，教材中許多地方都涉獵到函數或序列的振蕩性這類非常重要的具體形態研究。對未來要進入信息或工業領域從事應用數學的學子，哈代的教材提供了絕佳的技術性訓練指南。

這本《純數學教程》在哈代自己手裡持續經營了近40年，一版再版，卻質樸如初。比如他沒有引入「一致收斂」的概念，也沒有把點集拓撲學放進去。哈代之用心，是在許許多多「看得見、摸得著」的具體的函數形態上或級數上，對級數求和、收斂性等等的精彩處理，讀起來很充實，可以實實在在學到一手計算與分析的硬功夫。而這些功夫，雖比不上那些可以成為談資的哲學化的名詞，卻是日常科研中最受用的手段。

維根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）

當然另有高人未必對哈代的分析技巧著迷。據說維根斯坦就研讀過哈代的這本《純數學教程》，而且聽聞今年十月份，維根斯坦關於哈代這本教程的讀書筆記即將揭秘——書名正是《維根斯坦關於哈代「純數學教程」的筆記》。令人好奇的是，這位在《哲學研究》裡很酷地寫出「當我相信人有靈魂時，我相信的是什麼」的維根斯坦，會在哈代的教材上寫出什麼花兒。邏輯是理性最純正的力量，特別是當它與計算關聯起來的時候。相比起崇拜哥德爾的不完全性，芸芸眾生似乎更願意享受圖靈帶給我們的可計算性。

維根斯坦閱讀哈代《純數學教程》的筆記研究

哈代的名字常常和劍橋聯繫在一起，不過他有十多年是在牛津做教授，他也曾在美國的普林斯頓大學教書。在上個世紀20年代末，哈代就已經把英國分析數學的水平整體地帶入到前所未有的高度。在他自己掌控的倫敦數學會期刊上，來自全球的分析數學的高質量論文撐起了英國分析數學的一片繁榮景象。他和利特爾伍德培養出了一批才華出眾的弟子。這些，或許是一個富有領導力的數學家才可能留給世界的數學景觀。

劍橋和牛津這兩個牛校在哈代心中孰輕孰重，旁人自然好奇。學術卓絕之外的牛劍之間，還有聲名遠揚的賽艇對抗賽。哈代是個超級板球迷，卻短於賽艇。有人問哈代在玩體育時到底代表劍橋還是代表牛津，他答道：玩板球的時候是代表劍橋的，劃賽艇的話就算是代表牛津了。看來，許多人喜歡把哈代和劍橋放在一起談，還是合乎他心意的。

這個世界上，有這麼一些聰慧又勤勉的學者，以學術為業，執念嚴格性、執念邏輯、執念真理。可以像羅素那樣為了邏輯的使命開始書寫內心的篇章，更能夠在邏輯面前低下頭來放棄行進中的著作。可以像哈代那樣耐心地把一本教科書反反覆覆修訂四十年。這樣的學者，這樣的名牌大學，或許是世人所景仰和懷念的。他們的人生，無論是跌宕的還是平靜的，都完美地詮釋了學術精神應該有的純粹。

有許多值得一讀的數學家，但我會永遠偏愛哈代。曾經酷愛運動的哈代，在二戰期間身體極度衰弱，數學創造才能也逐步消逝。正是在這悲愴的英雄情懷中，他寫下了《一個數學家的辯白》。我喜歡他鏗鏘的字句：

The noblest ambition is that of leaving behind one something of permanent value......Ambition has been the driving force behind nearly all the best work of the world.

最崇高的雄心，就是留下一些永恆的價值......世界上幾乎所有優秀成果背後的驅動力，幾乎都是雄心壯志。

與其說這是一個數學家的辯白，莫如說：這是一個數學家的宣言。

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本書是哈代於 1940 年寫成的心得之作，展現了數學之美、數學的持久性和數學的重要性三大主題。作者從自己的角度談論了數學中的美學，給眾多數學「門外漢」一個機會，洞察工作中的數學家的內心。作者還討論了數學的本質與特點、數學的歷史及其社會功能等諸多話題。該書被稱為是「用優雅的語言對數學真諦進行了完美的揭示」，原汁原味地向讀者展示了一位真正、純粹的數學家的數學思想，是不可多得的經典讀物。

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本書是一部百年經典，在20世紀初奠定了數學分析課程的基礎。書中對數學分析這一基礎課程的重要內容——微積分學進行了系統的闡述，對很多經典的數學給出了嚴謹的證明方法，是Hardy數學思想智慧的結晶。另外，書中收集了許多極富思考價值的練習題，值得一提的是，還收集了當年英國劍橋大學榮譽學位考試所採用的試題。

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本書是哈代、李特爾伍德、波利亞合著的一部經典之作，作者詳盡地討論了分析中常用的一些不等式，涉及初等平均值、任意函數的平均值和凸函數理論、微積分的各種應用、無窮級數、積分、變量積分的一些應用、關於雙線性形式和多線性形式的一些定理、希爾伯特不等式及其推廣等內容。