導數在實際中有什麼用?花幾分鐘就可以理解它本質,提高你的X格

2020-12-05 失落代號

導數是什麼?可能很多人不知道或者早已經還給老師了。但是「微商」這個詞,應該很多人都知道,前兩年這個詞太火。沒錯,微商就是導數,導數也叫微商,只不過此微商非彼「微商」罷了。

導數的一些概念大概是這樣:

1、導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率;

2、若某函數在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。

3、當自變量的增量趨於零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限。也就是當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時,函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在,a即為在x0處的導數。

定義很生澀難懂吧,做個形象的比如:有一個函數f(x),它在坐標上顯示就是一條弧線(如上圖)。關於這個函數是怎樣,f(x)你可以認為是一個複雜的y,之所以f裡面包含x,就是表明它是隨x這個變量變化而變化的。比如函數f(x)=x其實就是y=x,只是這個y=x函數太簡單了,在坐標上就是一條直線。

這個函數f(x)的x原來在x0的地方,現在x它變了△x,也就是現在x=x0+△x,比如如現在x=5+0.1=5.1位置。因為f(x)就是y,那麼對應的f(x)的變化就是 △y。當△x趨向0的時候,就是△x無窮小0.000…01,這時候 △y/ △x的存在極限數a,那麼這個a就是導數了。在數值上看,導數的值是不是就是斜率的數值?

導數的本質是什麼,我在網上看到一句話是這樣的:導數的本質完全融在它的定義之中,也就是定

義中抽象的數學表達式本身就是它最基礎的本質!說的非常好。

lim(△x→0) [y(x+△x)-y(x)] /△x

= lim(△x→0) △y/△x = dy/dx

被定義為y(x) 的導數,所以導數代表的含義要從它的定義及所處領域中尋找。

通過上面可知,導數其實也是極限的問題,它反映的是瞬間自變量(x)極小的變化引起因變量(y)變化的比值的倒數dy/dx,也稱為為變化率。我們這個世界萬事萬物無時無刻都在變化,包括我們的心跳,因此要研究這個世界是如何變化,要掌握它的運動規律,導數就是一個重要的工具了。導數在不同領域中的意義有不同的解釋,在數學函數中它表示斜率;在物理位移和時間關係中它是瞬時速度、加速度;在經濟學中導數可以分析實際的動態變化,如它可以表示邊際成本。這也是導數在實際應用的作用,任何變化的東西,通過導數就可以分析它的瞬態。

明白了導數的概念後,我們看看常見一些導數的求導,從中掌握導數是怎麼計算的。

1、y=c,函數等於常數的時候,如f(x)=c,一條平行於x的線,斜率為0,導數肯定等於0了。

2、y=x,y'=lim(△x→0) [(x+△x) - x]/△x=lim(△x→0) (2x△x+△x)/△x=lim(△x→0) (2x+△x),注意,這裡△y=(x+△x) - x。當△x→0時,lim(△x→0) (2x+△x)=2x。

不過以後這種函數記住公式y=x^m,y'=mx^(m-1)直接求導即可,上面計算只是讓理解本質過程。

3、x﹢y=1,這是一個隱函數,隱函數求導是直接看出複合函數求導,複合函數求導的結果先外層函數求導,然後乘以內層函數求導結果。令y=f(x),那麼y'=f(x)'=f(x)*f(x)]'= f(x)*f(x)'+f(x)'*f(x)= 2f(x)*f(x)'= 2yy'。所以,對兩邊方程兩邊求導得到結果2x+2yy′=0 。

我們看一下常見的求導公式有哪些,以後求遇到類似的求導直接套用就可以。

1、初等函數的求導公式

網上有人總結這些求導公式的口訣,大家看看有沒有什麼幫助,有用的話可以自己背熟(千萬要理解它意思,光背熟不知道什麼意思就白忙活了):

1、常為零,冪降次(這個很簡單);

2、對倒數(e為底時直接倒數,x為底時乘以1/lnx);

3、指不變(特別的,自然對數的指數函數完全不變,一般的指數函數須乘以lnx);

4、正變餘,餘變正(記住餘弦求導後正弦前面的負號);

5、切割方(即切函數(正切、餘切的導數)是相應割函數(切函數的倒數)的平方);

6、割乘切,反分式(割乘切:正割、餘割的導數則乘以相應正切、餘切;反分式:函數的導數則不再是三角函數了)。

導數是微積分的重要基礎,要學會、學精導數需要下功夫鑽研下去。還有很多概念及高階函數求導等本文都沒有提及,由於筆著水平原因,就不一一介紹了。本文旨在幫助初學者掌握導數的本質及理解其作用,加上時間比較倉促,可能有一些說得不太好的地方,請見諒。

通過理解數學背後本義,找到它在實際運用中為什麼會被產生,然後再去求學、鑽研,自然可以很快上手。當你愛上數學的時候,它就不再枯燥,甚至你還發現這個世界,無處不存在著數學的美。

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