二階導數真實的幾何意義是什麼,它比一階導數小嗎?

2020-12-05 電子通信和數學

我們都知道，函數f(x)的導數就可以解釋為某個X值所對應的圖形的斜率，圖像越陡說明導數值很大，向下傾斜說明導數為負，

那麼導數的導數就是二階導數，它表示了斜率的變化，那二階導數的幾何意義在圖形上如何體現呢？

既然是斜率的變化，曲線向上彎曲，斜率不斷增加，二階導數就是正

同理，曲線向下彎曲，斜率不斷減少，二階導數就是負的

我們考慮一個取值，然後向右連續增加兩個小量dx，注意dx是很微小的距離

第一個增量使得函數產生了第一個變化量，我們把它叫做df1, 同理第二個增量的變化我們把它叫做df2

這兩個變化之間的差，即函數值變化量的變化量就是d(df)

d(df)是一個非常微小的數，它和(dx)^2成正比，如果dx=0.01，那麼(dx)^2就是0.0001，這是非常微小的量

二階導數就是變化量的變化量比上(dx)^2

更確切的說是dx趨近於0的時候的這個比值的極限

儘管d並不是一個能和f直接相乘的變量，但為了使的記號更簡單，你應該把他改寫成

在圖像沒有彎曲的地方，二階導數就是0

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