一、要點合集
要點一 簡單的補集運算
例1
(1)設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，則∁U A等於()
A．{1,2}
B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5}
D．{1,5}
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，則∁U A＝________.
答案
(1)B
(2){x|x＜1}
解析
(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴∁UA＝{3,4,5}．
(2)由補集的定義，結合數軸可得∁U A＝{x|x＜1}．
規律方法
1.根據補集定義，當集合中元素離散時，可藉助Venn圖；當集合中元素連續時，可藉助數軸，利用數軸分析法求解．
2．解題時要注意使用補集的幾個性質
跟蹤演練1
已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，則∁U A＝________.
答案
{x|x＝－3，或x＞4}
解析
藉助數軸得∁U A＝{x|x＝-3，或x＞4}．
要點二 交集、併集、補集的綜合運算
例2
(1)已知集合A、B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩∁UB等於()
A．{3}
B．{4}
C．{3,4}
D．∅
答案
(1)A
解析
(1)∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，
∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．
又∁UB＝{3,4}，
∴A∩∁UB＝{3}．
規律方法
1.集合的交、並、補運算是同級運算，因此在進行集合的混合運算時，有括號的先算括號內的，然後按照從左到右的順序進行計算．
跟蹤演練2
設全集為R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.
解析
把全集R和集合A、B在數軸上表示如下：
由圖知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
∵∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．
要點三 補集的綜合應用
例3
已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁R A，求a的取值範圍．
解析
由題意得∁RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝∅，則a＋3≤2a，即a≥3，滿足B⊆∁RA.
(2)若B≠∅，則由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a＜a＋3，
即－21≤a＜3.
綜上可得a≥－21.
規律方法
1.與集合的交、並、補運算有關的求參數問題一般利用數軸求解，涉及集合間關係時不要忘掉空集的情況；
2．不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集．
跟蹤演練3
已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(∁RB)＝∅，求實數a的取值範圍．
解析
∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，
∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，
因而要使A∩(∁RB)＝∅，結合數軸分析(如圖)，
可得a≤－1.