曉星說數學：讓數學家折服的藝術大師埃舍爾

藝術家說：埃舍爾是當之無愧的藝術大師、空前絕後的藝術怪才！

哲學家說：埃舍爾是一個偉大的思想家，他不是通過語言和文字來表達他的偉大思想，而是通過繪畫！

數學家說：埃舍爾是平面對稱群的發現者、也是分形幾何與數學藝術的開拓者！

物理學家說：如果你想像不出高維時空的模樣，請看看埃舍爾是如何扭曲時空，把不可能變成了可能！

——題記

埃舍爾（M.C.Escher）是世界上最負盛名的藝術家之一，用&34;來形容也不為過。他是20世紀當之無愧的藝術大師，卻至今無法被納入20世紀藝術的任何一個流派；他不但擁有無數的普通&34;，而且被眾多的科學家與哲學家視為知己，特別是數學界更把他視為橫跨數學與藝術兩個領域的&34;，尊其為&34;與&34;的開拓者。他的版畫曾被許多科學著作和雜誌用作封面，1954年&34; 破天荒在阿姆斯特丹專門為他舉辦了個人畫展，這在現代藝術史上是絕無僅有的！

年輕的埃舍爾作為一個版畫藝術家剛出道時，主要作品是風景畫。他的風景版畫手法細膩、逼真、傳神，寫實風格猶如黑白照片，可以看出藝術功底非常紮實。如果就這樣遵循傳統，中規中矩地創作下去，衣食無憂絕不成問題，但大師的才華就會淹沒在平庸的作品上，也絕不會與數學結緣。

埃舍爾內心始終有一種自由創作的渴望，不斷嘗試各種不同風格的創作手法、以及各種不同的主題，包括立體主義、現實主義、新藝術主義和象徵主義，還探索過版畫技法，包括油氈浮雕、石刻、石板印刷，以及東方木版畫技法。最終，埃舍爾找到了&34;作為藝術轉型的突破口，並終其一生都對其懷有濃厚的興趣，正如埃舍爾自己所說：&34;

埃舍爾用人物與動物取代了傳統&34;中的幾何圖形，賦予了&34;以新的生命，將&34;由&34;提升到了&34;！

《八張臉》是埃舍爾的第一幅比較成功的平面鑲嵌作品，可以看出埃舍爾已經嫻熟地掌握了&34;、&34;與&34;等幾何變換；從藝術的角度看，畫面上的八張臉形象迥異，正看可以看到四張、旋轉180度又可以看到四張，女性中有端莊的、有浮豔的，男性中有誠摯的、有陰險的，看似親密無間、相互交融，其實又彼此對立、背道而馳，令人不禁拍案叫絕！

《天使與惡魔》一直是埃舍爾鍾愛的鑲嵌藝術主題，曾為之創作了三件不朽的作品，前後長達二十年。左邊的這幅是埃舍爾1941年的作品，也是歐幾裡得平面的《天使與惡魔》鑲嵌，使用了三種對稱變換：旋轉對稱，鏡射對稱，還有一種連數學家也不常遇的&34;。任何兩個天使或惡魔形狀與大小完全相同，彼此相差僅一個平移、旋轉或鏡像反射，也就是所謂的&34;。藝術視覺上，天使與惡魔相互襯託，對比特別強烈：白色前景是雙翼天使，黑色背景是蝙蝠狀惡魔；人們凝視天使時，惡魔隱為背景；人們注視惡魔時，天使又融為背景；誰都無法既看到天使、同時又看到惡魔。作品的寓意非常具有哲理性：天使與惡魔對立統一，世界就是由天使與惡魔交織而成，天使與惡魔既相互鬥爭又相互依存。

第二年，埃舍爾用楓木雕刻了球面上的《天使與惡魔》鑲嵌。同樣地，任何兩個天使或惡魔之間也是僅相差一個&34;，也就是三維歐氏空間的旋轉加反射。可惜這件作品此次並未展出。

二十年後，埃舍爾的鑲嵌藝術已經達到爐火純青、登峰造極的境界，創作出了雙曲空間的Poincaré 圓盤中的《天使與惡魔》，就是右邊那幅圓盤形的鑲嵌：天使與惡魔一組一組地分布在由內向外不斷輻射的同心圓上，每個同心圓上&34;大小形狀完全相同，而不同圓上&34;形狀雖然相同、大小卻不一樣，從內向外逐漸縮小，越靠近邊緣越小，越小分布越多，……直至無窮。數學上把這叫做&34;，其實也是&34;最顯著的特徵之一。

埃舍爾的&34;，從歐氏幾何到球面幾何只用了一年，而從球面幾何到雙曲幾何卻花了二十年，整個人類則花了近兩千年。

埃舍爾的Poincaré 圓盤上的《天使與惡魔》，也是其系列版畫《圓的極限》中的第四幅。依我個人而言，我更喜歡《圓的極限》中的第三幅《金魚》；《金魚》哲理性雖然不比《天使與惡魔》，但藝術上卻更勝一籌，是埃舍爾&34;三色為主的作品中為數不多的彩色佳作；尤其微妙的是：其中的金魚既可以按三角形分類、也可以按四邊形分類、還可以按弧線分類，無論怎麼分，每一類金魚都是從大到小&34;的，而且同一種顏色的金魚必定位於同一條弧線上、朝著同一個方向遊動。

埃舍爾在Poincaré 圓盤上表現&34;最為成功的鑲嵌作品當屬《蝴蝶》，不但畫中的每一個局部都與整體相似，而且蝴蝶的翅膀以這樣的方式著色，——形成相互正交的圓；更讓數學家們驚訝的是，埃舍爾在這裡發現了&34;這樣一個新的對稱群控制變量，這是數學家們意想不到的！

埃舍爾的很多鑲嵌畫即使用現代電子計算機技術也難於實現，更何況七八十年之前根本還沒有電子計算機！如何用電腦程式&34; 類似埃舍爾鑲嵌藝術那樣的藝術作品，已經發展成了一門新的學科，——數學藝術。

埃舍爾首創了&34;中的&34;，——畫面中的某種圖形或動物在觀眾不知不覺中逐漸變成了另一種圖形或動物，其中最負盛名的作品就是《晝與夜》（又名《天與地》）。這幅圖，從右向左，一群黑天鵝正由黑暗飛向光明，輪廓越來越清晰；從左向右，一群白天鵝正由光明飛向黑暗，輪廓也越來越為清晰；奇妙的是，黑天鵝不知道什麼時候就漸變成了白天鵝；從下往上，地面上一塊塊黑白相間的麥田又不斷上升，分別漸變成了天空中的黑天鵝與白天鵝。黑與白、無形與有形之間的&34;自然流暢、不知不覺，把黑與白的對立完美融合，讓靜止的畫面充滿了動感。

我對埃舍爾&34;的認識始於上個世紀80年代初，那時我正在武漢大學數學系當研究生，師從近世代數權威張遠達教授，學習&34;這一章的時候，張遠達先生告訴我們：&34;迄今為止已經發現了17種，卻不是數學家而是一位藝術家發現的，他就是埃舍爾，這是一個很了不起的數學發現；先生建議我們用&34;的觀點去研究一下埃舍爾的鑲嵌畫，並說如果誰能夠證明只存在17種&34;，那也是一項了不起的數學成就。五六年之後，80年代中期，美國數學家波利亞（G.Polya）最終嚴格地證明了確實只存在17種&34;，遺憾的是恩師未能看到這一天。

絕大多數畫家都在二維平面上努力地表現三維世界，埃舍爾卻獨樹一幟，不但在二維平面上出神入化地表現出三維空間，而且突破了三維空間的限制，力圖表現更高維的空間，甚至各種扭曲的、不可能空間。最具有代表性的作品就是《觀景樓》和《瀑布》。這兩幅作品不但令人驚奇，而且耐人尋味，讀者不妨細細觀賞、認真思考一番。

另兩幅代表作就是《階梯宮》與《異度空間》。

這次展出的埃舍爾的作品中，數學味道最濃、哲學寓意最深、對我影響最大、也是我最喜愛的作品，共有三幅，那就是《紅蟻》、《蜥蜴》與《互繪的手》。

《紅蟻》與《騎士》所描繪的都是數學的一個分支——拓撲學中的&34;。&34;的製作非常簡單：把一條普通的紙條捏住兩端扭轉180度、再粘貼起來，就成了一條&34;。千萬別小看這條&34;，具有正反兩面的普通紙條就變成了只有一個面的&34;，在&34;上爬行的螞蟻不需要越過紙條的邊緣（邊界），就可以爬遍整條&34;，並且永遠也爬不出這條有限的&34;。

可以說，《紅蟻》形象地揭示了螞蟻這種&34;的窘境與悲慘，——&34;局限在它所生存的二維空間，無法理解、也不可能穿越近在咫尺的三維空間，終其一生只能在封閉的、有限的二維空間內活動。人類作為&34;，盡可以居高臨下嘲笑螞蟻的無知與卑賤，然而人類何嘗又不是如此？！我們其實也被局限在我們所生活的三維空間，同樣無法理解、也不可能穿越近在咫尺的更高維的空間，終其一生也只能在封閉的、有限的三維空間內活動；說不定就有更高維的生物正在居高臨下注視著我們的一舉一動，而我們竟未知未覺！

普通人無法穿越時空，埃舍爾卻可以在他的藝術作品中遊刃有餘。他筆下的二維與三維空間，可以互相穿越循回，在《蜥蜴》中表現得淋漓盡致：這幅畫中，一隻灰色的蜥蜴先抬頭、後收腳，從埃舍爾標誌性的二維黑白灰三色平面鑲嵌圖中爬出，來到了三維世界，爬上一本代表理論的動物學書，再爬過一個作為理論和實際橋梁的平面三角形，然後爬上一個隱喻理想世界的立體正十二面體，打出一個噴煙的勝利響鼻，接著跳進一個裝滿世俗物品的銅缽，再跳回桌面，將頭伸進原來的那幅二維平面鑲嵌畫，鑽入原來的二維平面鑲嵌圖，圓滿完成一個周期，如此可以無窮無盡地往復循環下去。

這是一個仁者見仁智者見智的作品，有人從中看出&34;，——貌似蜥蜴在二維與三維空間自由穿越，其實穿越來穿越去，最終依然還在二維畫面中，我們所看到的不過是畫筆的線條與陰影刻意渲染出的&34;的假象；有人從中看出人生的輪迴與無奈，——不斷循回穿越的&34;就像當下的年輕人，經歷了&34;他們的下一代、甚至再下一代，還要不斷重複&34;這樣的前一輩的生活軌跡，人生的意義又何在？

而我所看到的卻是&34;，天地運行&34;，自然變化&34;，還有生命&34;，……，無一不是&34;的周期現象。

《互繪的手》是埃舍爾的點睛之作：畫面上有兩隻正在執筆畫畫的手,右手正在仔細地描繪左手的衣袖,並且很快就可以畫完；與此同時,左手也正在執筆異常仔細地描繪右手,並且也正好處於快要結束的位置。畫面戛然而止,把無限的疑惑留給我們,究竟是左手畫右手,還是右手畫左手?無論怎麼看,都無法分辨清楚。兩隻手都畫得立體感十足,非常逼真,生動,就連兩隻手上的皺紋也表現得栩栩如生，一隻手仿佛就是另一隻手的&34;。就在這樣一幅畫上,荒謬與真實,可能與不可能交織在一起,使畫面充滿了思辨的意味.帶出了值得深思的問題:究竟誰畫出了誰？誰是起點?誰是終點?誰是真理?誰是謬誤?

我記得第一次欣賞埃舍爾《互繪的手》是上個世紀80年代中期，一本小書《GEB——一條永恆的金帶》，那本書是侯世達的名著《哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成》的簡譯本。那時候我年輕氣盛，正在興致勃勃研究數學方法論，不知天高地厚，試圖從方法論上找到化解&34;的突破口。看了侯世達的書，對書中這幅插圖的印象極深，猶如醍醐灌頂：——數學理論自身的不完備性不可能從數學理論本身來解決！就好像埃舍爾畫中的右手畫左手、左手畫右手，根本無法判斷究竟是誰在畫誰，唯一的辦法是跳出畫面，就可以清醒地看出既不是右手畫左手、也不是左手畫右手，而是畫家埃舍爾創造了它們！這意味著我們要徹底解決數學理論的不完備性，只能期待上帝那雙萬能的手了！阿門！