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線性變換是指一個 n 維列向量被左乘一個 n 階矩陣後得到另一個 n 維列向量，它是同維向量空間中的把一個向量線性映射成了另一個向量。即：
Y=AX
其中Y, X∈Rn，A=(aij)n×n，一個向量被矩陣相乘，表示對這個向量做了一個線性變換。如果變換後還是這個向量本身乘以一個常數，這個常數就叫特徵值。即， 如果對於數 λ，存在一個 n 維非零列向量X（即 X∈Rn 且 X≠0），使得
AX= λX
則稱數 λ 為矩陣 A 的一個特徵值， X 稱為矩陣 A 對應於 λ 的特徵向量。
在線性代數中，研究線性變換就是研究相應的矩陣 A，矩陣 A 的特徵向量和特徵值是線性變換研究的重要內容。
我們知道，矩陣乘法對應了一個變換，是把任意一個向量變成另一個方向或長度都不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉、伸縮的變化。如果矩陣對某一個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。 這裡可以將特徵值為負，特徵向量旋轉 180 度，也可看成方向不變，伸縮比為負值。所以特徵向量也叫線性不變量。特徵向量的不變性是它們變成了與其自身共線的向量，在它們所在的直線上在線性變換下保持不變；特徵向量和它的變換後的向量們在同一條直線上，變換後的向量們或伸長或縮短，或反向伸長或反向縮短，甚至變成零向量（特徵值為零時）。
實際上，上述的一段話既講了矩陣變換特徵值及特徵向量的幾何意義（圖形變換）也講了其物理含義。物理的含義就是運動的圖景：特徵向量在一個矩陣的作用下作伸縮運動，伸縮的幅度由特徵值確定。特徵值大於 1，所有屬於此特徵值的特徵向量身形暴長；特徵值大於 0 小於 1，特徵向量身形猛縮；特徵值小於 0，特徵向量縮過了界，反方向到 0 點那邊去了。
對對稱矩陣而言，可以求得的特徵向量是正交的，就是把矩陣 A 所代表的空間，進行正交分解，使得 A 的向量集合可以表示為每個向量 a 在各個特徵向量上面的投影長度。
例如，對於 x,y 平面上的一個點（x,y），對它作線性變換 A
這個線性變換相當於關於橫軸 x 做鏡像。我們可以求出矩陣 A 的特徵向量有兩個[1,0]T 和[0,1]T,也就是 x 軸和 y 軸。什麼意思呢？在 x 軸上的投影，經過這個線性變換，沒有改變。在y 軸上的投影，乘以了幅度係數-1，並沒有發生旋轉。兩個特徵向量說明了這個線性變換矩陣
對於 x 軸和 y 軸這兩個正交基是線性不變的。對於其他的線性變換矩陣，我們也可以找到類似的 N 個對稱軸，變換後的結果關於這個 N 個對稱軸線性不變。這 N 個對稱軸就是線性變換 A 的 N 個特徵向量。