深入理解矩陣特徵值與特徵向量的物理意義

2020-11-30 墨塵

顧名思義，特徵值和特徵向量表達了一個線性變換的特徵。在物理意義上，一個高維空間的線性變換可以想像是在對一個向量在各個方向上進行了不同程度的變換，而特徵向量之間是線性無關的，它們對應了最主要的變換方向，同時特徵值表達了相應的變換程度。

具體的說，求特徵向量，就是把矩陣A所代表的空間進行正交分解，使得A的向量集合可以表示為每個向量a在各個特徵向量上的投影長度。我們通常求特徵值和特徵向量即為求出這個矩陣能使哪些向量只發生拉伸，而方向不發生變化，觀察其發生拉伸的程度。這樣做的意義在於，看清一個矩陣在哪些方面能產生最大的分散度（scatter），減少重疊，意味著更多的信息被保留下來。

相關焦點

  • 矩陣的特徵值與特徵向量
    ，也稱v為特徵值λ對應的特徵向量。五、實對稱矩陣特徵分解的性質：        (1) 實對稱矩陣的特徵值都是實數；        (2) 實對稱矩陣A的屬於不同特徵值的特徵向量相互正交；        (3) 設A是n×n的實對稱矩陣，則存在正交陣Q，使為對角陣（正交陣的逆等於其轉置,A有n個線性無關的特徵向量）。
  • 矩陣特徵值與特徵向量的幾何意義
    線性變換是指一個 n 維列向量被左乘一個 n 階矩陣後得到另一個 n 維列向量，它是同維向量空間中的把一個向量線性映射成了另一個向量。即：Y=AX 其中Y, X∈Rn，A=(aij)n×n，一個向量被矩陣相乘，表示對這個向量做了一個線性變換。如果變換後還是這個向量本身乘以一個常數，這個常數就叫特徵值。
  • 特徵值和特徵向量的物理意義,振動離不開它
    長時間以來一直不了解矩陣的特徵值和特徵向量到底有何意義（估計很多兄弟有同樣感受）。知道它的數學公式，但卻找不出它的幾何含義，教科書裡沒有真正地把這一概念從各種角度實例化地進行講解，只是一天到晚地列公式玩理論——有個屁用啊。
  • 矩陣的瑰寶:深入挖掘特徵值和特徵向量,直觀地看抽象概念
    特徵值和特徵向量可能看起來是很抽象的概念，但它們在你周圍的世界中扮演著不可或缺的角色。因為一切都是由數據定義的，矩陣是處理數據的最佳工具，而它們又是矩陣中的瑰寶，可以揭示矩陣的性質。理解特徵值和特徵向量是什麼，如何推導它們，以及它們的應用，對于欣賞矩陣之美，以及更廣泛地理解數據和數學在世界中扮演的角色，都是不可或缺的。
  • 矩陣的特徵值分解的物理意義
    矩陣的特徵值分解目的就是提取出一個矩陣最重要的特徵。這其實是在平面上對一個軸進行的拉伸變換（如藍色的箭頭所示），在圖中，藍色的箭頭是一個最主要的變化方向（變化方向可能有不止一個），如果我們想要描述好一個變換，那我們就描述好這個變換主要的變化方向就好了。
  • 2013考研數學衝刺複習:矩陣的特徵值與特徵向量講解
    矩陣的特徵值與特徵向量問題是考研數學中一常考點，然而在最後衝刺這一階段，同學們在做真題和模擬題《考研數學絕對考場最後八套題》時對這一考點還存在一些疑惑，對此，文都考研數學的輔導老師特撰此文講解矩陣的特徵值與特徵向量問題，助同學們考研成功。
  • 線性代數的本質:特徵向量與特徵值
    一般情況下，一個二維矩陣有兩個特徵值，而對應的特徵向量在兩條直線上，但也存在一些特殊情況。如有時候只有一個特徵值，以及特徵向量分布在一條直線上，如下面的矩陣，只有1個特徵值，為1：更特別的，有時候一個矩陣只有一個特徵值，但是其對應的特徵向量分布在不同的直線上，如下面的矩陣將空間中所有的向量都拉伸了兩倍，它只有一個特徵值2，但是所有的向量都是其特徵向量：
  • 特徵方程的物理意義
    如果特徵值是負數，則說明矩陣不但把特徵向量拉長（縮短）了，而且使該向量的方向發生了反轉（指向了相反的方向）。一個矩陣可能可以拉長（縮短）多個向量，因此它就可能有多個特徵值。另外，對於實對稱矩陣來說，不同特徵值對應的特徵向量必定正交。我們也可以說，一個變換矩陣的所有特徵向量組成了這個變換矩陣的一組基。所謂基，可以理解為坐標系的軸。
  • 矩陣:特徵向量(Eigenvector)
    矩陣實際可以看作一個變換，方程左邊就是把向量x變到另一個位置而已；右邊就是把向量x作了一個拉伸，拉伸量是lamda。那麼它的意義就很明顯了，表達了矩陣A的一個特性就是這個矩陣可以把向量x拉長（或縮短）lamda倍，僅此而已。任意給定一個矩陣A，並不是對所有的x它都能拉長（縮短）。
  • 矩陣的重要特性:特徵向量
    矩陣實際可以看作一個變換，方程左邊就是把向量x變到另一個位置而已；右邊就是把向量x作了一個拉伸，拉伸量是lamda。那麼它的意義就很明顯了，表達了矩陣A的一個特性就是這個矩陣可以把向量x拉長（或縮短）lamda倍，僅此而已。任意給定一個矩陣A，並不是對所有的x它都能拉長（縮短）。
  • 特徵值和特徵向量計算證明題
    >的特徵值與特徵向量. 因為A可逆, 所以 為 的特徵值, 對應的特徵向量也是(1, 1,>的公共特徵向量, 對應的特徵值為 .): ; 因為有三個不同的特徵值, 所以對應的特徵向量線性無關, 所以A
  • 2018考研數學線代特徵值特徵向量
    本文為廣大考生整理2018考研數學線代特徵值特徵向量，更多考研數學怎麼複習、考研數學題型、考研數學大綱、考數學試題等備考資料，歡迎訪問北京研究生招生信息網。 【中公考研原創，轉載請註明出處】一、矩陣的特徵值與特徵向量問題1.矩陣的特徵值與特徵向量的概念理解以及計算問題這一部分要求會求給定矩陣的特徵值與特徵向量，常考的題型有數值型矩陣的特徵值與特徵向量的計算和抽象型矩陣的特徵值與特徵向量的計算。
  • 線性代數-5.4方陣的特徵值與特徵向量
    特徵值與特徵向量的定義設的特徵值和特徵向量課堂索引：22 第五章 5.4特徵值與特徵向量5.4.2例題12.求矩陣課堂索引：22 第五章 5.4特徵值與特徵向量5.4.4例題45.課堂索引：22 第五章 5.4特徵值與特徵向量5.4.4例題34.
  • 2015考研數學大綱解析:特徵值和特徵向量學習方法指導
    當然，特徵值和特徵向量部分也沒有發生變化。下面我以特徵值和特徵向量為例，深度解析考研數學大綱，希望對大家的學習有所幫助。　　一、考試內容　　矩陣的特徵值和特徵向量的概念、性質  相似矩陣的概念及性質  矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣  實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及其相似對角矩陣　　二、考試要求　　理解矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質，會求矩陣特徵值和特徵向量；理解相似矩陣的概念
  • 特徵值和特徵向量的幾何意義、計算及其性質
    ，矩陣（既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裡不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量）乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量。另外，特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已。對一個變換而言，特徵向量指明的方向才是很重要的，特徵值不那麼重要。雖然我們求這兩個量時先求出特徵值，但特徵向量才是更本質的東西！特徵向量是指經過指定變換（與特定矩陣相乘）後不發生方向改變的那些向量，特徵值是指在經過這些變換後特徵向量的伸縮的倍數。
  • 眾人皆醉我獨醒——深入理解「特徵值」和「特徵向量」
    那有沒有一個矩陣，恰好使線性變換之後新向量p和原來的向量w在同一條直線上呢？我們再看一個例子：如上圖，還是向量w（2,3），此時線性變換的矩陣變成了[1/2,1;0,2]，產生的新向量p（4,6）跟w還在同一條直線上。
  • 圖說冪法求特徵值和特徵向量
    如圖中坐標原點是兩條粗藍線的交點，紅色的向量是[1, - 0.8]』。粗黑色的向量，變成藍色的向量，方向還在特徵向量的方向是，只是長度乘了「特徵值」2，（這裡A的特徵值是2和0.5）。特徵向量並沒在橢圓的軸上，看下圖中軸向上黃色的兩個向量，那麼橢圓軸上是什麼？問題來了，順便我把這個矩陣A=[1.1 , 0.3 ;  1.8, 1.4 ]有關的向量都畫出來，（看著不暈吧！畫的有點亂,但都和A有關係）
  • Python求解特徵向量和拉普拉斯矩陣
    學過線性代數和深度學習先關的一定知道特徵向量和拉普拉斯矩陣，這兩者是很多模型的基礎，有著很重要的地位，那用python要怎麼實現呢？numpy和scipy兩個庫中模塊中都提供了線性代數的庫linalg,scipy更全面些。
  • 特徵值和特徵向量知識點小結
    相對於向量與線性方程組部分來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點，歷年考研真題都有相關題目，而且最有可能是綜合性的大題。　　特徵值和特徵向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關題目要用到線代中的大量內容--即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關，"牽一髮而動全身"；著重考察這樣的知識點，在保證了考察面廣的同時又有較大的出題靈活性。
  • 數學學習如此容易:用Python計算特徵值和特徵向量
    ，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。特徵值 是方程式Ax=ax的標量解（scalar solutions），其中A是一個二維矩陣，而x是一維向量。 特徵向量 實際上就是表示特徵值的向量。提示：特徵值和特徵向量都是基本的數學概念，並且常用於一些重要的算法中，如 主成分分析（PCA） 算法。