一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，並且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數。
一般地，形如y=kx+b(k，b是常數，k≠0)的函數叫做一次函數。當b=0時，y=kx+b即y=kx，是正比例函數。所以說正比例函數是一種特殊的一次函數。
例1：已知y與x+2成正比例，且x=1時，y=6。
①求y與x之間的函數表達式
②若點（a，2）在函數圖像上，求a得值。
分析：因為y與x+2成正比例，可設y=k（x+2），把x=1，y=6代入解得k得值，即可求得y與x之間的函數表達式，表達式求出，把點（a，2）代入表達式，可求出a。
解：①設y=k（x+2），把x=1，y=6代入得，
6=k（1+2），解得k=2；
所以y=2（x+2），
y與x之間的函數表達式為y=2x+4
②把點（a，2）代入函數表達式得，
2=2a+4，解得a=一1。
例2：已知y一1與x成正比例，當x=一2時，y=4。
①求y與x之間的函數表達式；
②當x=3時，y得值是多少？
③當y=一4時，x的值是多少？
解析同上。
解：①由題意可設y一1=kx，把x=一2，y=4代入得，
4一1=一2k，解的k=一3/2，
所以y與x之間的函數關係式為y=一3/2x十1。
②把x=3代入函數關係式得，
y=一3/2×3十1=一7/2
③把y=一4代入函數關係式得，
一4=一3/2x十1，x=10/3
例3：若關於x的函數y=（m十2）x^（|m|-1）十n十5是正比例函數，求m十n得值。
分析：正比例的函數表達式為y=kx，自變量的係數不能為0且自變量的次數為1，所以有m十2≠0且|m|一1=1；
因為成正比例，所以常數項應為0，所以n十5=0；
解：由題意得|m|一1=1且m十2≠0，
解得m=2；
又n十5=0，所以n=一5；
所以m十n=2一5=一3
例4：已知Y=Y1十Y2，其中Y1與X成正比例函數，Y2與X一2成正比例函數，當X=一1時，Y=2；當X=2時，Y=5，求Y與X的函數關係式。
解：設Y1=k1X，Y2=k2（X一2）；
所以Y=k1X十k2（X一2），
即Y=（k1十K2）X一2k2，
把X=一1，Y=2和X=2，Y=5代入上面的函數表達式得：
2=一（k1十k2）一2k2，
5=2（k1十k2）一2k2，
解得k1=5/2，k2=一3/2，
所以Y與X的函數關係式為：
Y=X十3
例5：如圖表示一個正比例函數與一個一次函數的圖像，它們交於點A（4，3），一次函數的圖像與y軸交於點B，且OA=OB，求這兩個函數的表達式。
解：設正比例函數的表達式為Y=k1X，由題意得，
3=4k1，解得k1=3/4，所以Y=3/4X。
OA=√（4^2十3^2） =5，所以OB=5，
設一次函數表達式為Y=k2X十5，把點A（4，3）代入得，3=4k2十5，解得k2=一1/2，
所以一次函數表達式為Y=一1/2X十5。