前面我們已經講過正比例函數與一次函數定義以及他們的性質，今天我們講講正比例函數與一次函數在考試中的5種經典考試類型。
類型一：正比例函數與一次函數定義
例1.當m為何值時，函數y=-（m-2）x^(x^2-3)+（m-4）是一次函數？
思路點撥：某函數是一次函數，函數表達式除應符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．
解：∵函數y=-（m-2）x^(x^2-3)+（m-4）是一次函數，
∴ x^2-3=1且-（m-2） ≠0
∴m=-2.∴當m=-2時，函數y=-（m-2）x^(x^2-3)+（m-4）是一次函數。
類型二：待定係數法求函數解析式
例2.求圖象經過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數的表達式．
思路：圖象與y=2x+1平行的函數的表達式的一次項係數為2，則可設此表達式為y=2x+b，再將點（2，-1）代入，求出b即可。
解：由題意可設所求函數表達式為y=2x+b，∵圖象經過點（ 2，-1）， ∴ -1=2×2+b． ∴ b=-5， ∴所求一次函數的表達式為 y=2x-5.
總結：求函數的解析式常用的方法是待定係數法，具體怎樣求出其中的待定係數的值，要根據具體的題設條件求出。
類型三：函數圖象的應用
例3.圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發地的距離s(km)和行駛時間t(h)之間的函數關係，根據圖中提供的信息，回答下列問題：
(1)汽車共行駛了___________ km；(2)汽車在行駛途中停留了___________ h；(3)汽車在整個行駛過程中的平均速度為___________ km/h；(4)汽車自出發後3h至4.5h之間行駛的方向是___________.思路：讀懂圖象所表達的信息，弄懂並熟悉圖象語言.圖中給出的信息反映了行駛過程中時間和汽車位置的變化過程，橫軸代表行駛時間，縱軸代表汽車的位置.圖象上的最高點就是汽車離出發點最遠的距離. 汽車來回一次，共行駛了120×2=240(千米)，整個過程用時4.5小時，平均速度為240÷4.5=160/3 (千米/時)，行駛途中1.5時—2時之間汽車沒有行駛.
解析：(1)240； (2)0.5； (3) 160/3； (4)從目的地返回出發點.
總結：這類題是課本例題的變式，來源於生活，貼近實際，是中考中常見題型，應注意行駛路程與兩地之間的距離之間的區別.本題圖象上點的縱坐標表示的是汽車離出發地的距離，橫坐標表示汽車的行駛時間.
類型四：一次函數的性質
例4.己知一次函數y=kx十b的圖象交x軸於點A（一6，0），交y軸於點B，且△AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值．
思路：設函數的圖象與y軸交於點B（0，b），則OB=|b|,由△AOB 的面積，可求出b，又由點A在直線上，可求出k並由函數的性質確定k的取值．
解析：直線y=kx十b與y軸交於點B（0，b），點A在直線上，則0=-6k+b①，由△AOB 的面積,可得：1/2x6x|b|=12，即|b|=4,所以b=4或b=-4，代入①，可得，當b=4時，k=2/3；當b=-4時，k=-2/3.
由於y隨x的增大而增大，則k＞0,所以k=2/3,則b=4.
總結：該題考查的是待定係數法和函數值，仔細觀察所畫圖象，找出隱含條件。
類型五：一次函數綜合題型
例5.已知：如圖，平面直角坐標系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），過點C的直線繞C旋轉，交y軸於點D，交線段AB於點E。（1）求∠OAB的度數及直線AB的解析式； （2）若△OCD與△BDE的面積相等，①求直線CE的解析式；②若y軸上的一點P滿足∠APE=45°，請直接寫出點P的坐標。
思路：（1）由A，B兩點的坐標知，△AOB為等腰直角三角形，所以∠OAB=45°（2）△OCD與△BDE的面積相等，等價於△ACE與△AOB面積相等，故可求E點坐標，從而得到CE的解析式；因為E為AB中點，故P為（0,0）時，∠APE=45°.
解析：（1）∵A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1，△AOB為等腰直角三角形∴∠OAB=45°設直線AB的解析式為：y=kx+b,將A（ 1，0），B（0，1）代入，解得k=-1，b=1∴直線AB的解析式為：y=-x+1
（2）①設△OCD的面積為S1，△BDE的面積為S2，四邊形ODEA的面積為S3.
∵△OCD與△BDE的面積相等，即：S1=S2
∴S1+S3=S2+S3
即△ACE與△AOB面積相等.
設E點坐標為（a,b）
∴1/2|CA||b|=1/2|OA||OB| ,
∴ b=1/2 ，
將其代入y=-x+1，得E點坐標（1/2,1/2）
設直線CE為y=kx+b，將點C（-1，0），點E（1/2,1/2）代入0=-k+b......①,
1/2=1/2k+b.......②，
解得k=b=1/3,
∴直線CE的解析式：y=1/3x+1/3
②∵點E為等腰直角三角形斜邊的中點 ∴當點P（0,0）時，∠APE=45°.
總結：考慮面積相等這個條件時，直接算比較困難，往往採取補全成一個容易計算的面積來解決問題。
練習：
1.如果函數是正比例函數y=(m-2)x^|m-1|，那麼（ ）.
A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1
2.已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.（1）寫出y與x之間的函數關係式； （2）當x=4時，求y的值； （3）當y=4時，求x的值．
3.已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內是所掛重物的質量x（kg）的一次函數，現已測得不掛重物時，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時，彈簧的長度是7.2cm，求這個一次函數的表達式。
4.已知直線y=2x+1．（1）求已知直線與y軸交點M的坐標;（2）若直線y=kx+b與已知直線關於y軸對稱，求k，b的值．
5.判斷三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上.
6.圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函數關係，求它們行進的速度關係。
7.小高從家騎自行車去學校上學，先走上坡路到達點A，再走下坡路到達點B，最後走平路到達學校，所用的時間與路程的關係如圖所示。放學後，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學時一致，那麼他從學校到家需要的時間是( )
A.14分鐘 B.17分鐘 C.18分鐘 D.20分鐘
8.某種洗衣機在洗滌衣服時,經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續的過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關係如圖所示：
根據圖象解答下列問題：（1）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升.①求排水時y與x之間的關係式； ②如果排水時間為 2分鐘，求排水結束時洗衣機中剩下的水量.
9.已知關於x的一次函數y=(3-m)x-2m^2+18。
（1）m為何值時，函數的圖象經過原點?
（2）m為何值時，函數的圖象經過點（0，－10）?
（3）m為何值時，函數的圖象和直線y=－x平行?
（4）m為何值時，y隨x的增大而減小？
10.函數y=kx+|k|(k≠0)在直角坐標系中的圖象可能是（ ）.
11.在長方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點P沿邊按A→B→C→D的方向向點D運動（但不與A，D兩點重合）。求△APD的面積y()與點P所行的路程x（cm）之間的函數關係式及自變量的取值範圍。
12.如圖，直線y=kx+6與x軸y軸分別交於點E、F，點E的坐標為（-8，0），點A的坐標為（-6，0）。
（1）求k的值； （2）若點P（x，y）是第二象限內的直線上的一個動點，在點P的運動過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍； （3）探究：在（2）的條件下，當點P運動到什麼位置時，△OPA的面積為27/8，並說明理由。
答案
1.C。考慮到x的指數為1，正比例係數k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，選C
2.解：（1）由於y-3與x成正比例，所以設y-3=kx．把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得 7-3＝2k， ∴ k＝2． ∴ y與x之間的函數關係式為y-3=2x，即y=2x+3． （2）當x=4時，y=2×4+3=11． （3）當y＝4時，4=2x+3，∴x=1/2.
3.分析:題中並沒給出一次函數的表達式，因此應先設一次函數的表達式y=kx+b，再由已知條件可知，當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2．求出k，b即可．
解：設這個一次函數的表達式為y=kx+b．
由題意可知，當 x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2.
把它們代入y=kx+b中得
∴6=b,
4k+b=7.2
解得，k=0.3, b=6.
∴這個一次函數的表達式為y=0.3x+6．
4.解：（1）直線與y軸相交，即：x=0,∴y=1
點M的坐標為（0,1）
（2）∵直線 y=kx+b與y=2x+1關於y軸對稱，
∴兩直線上的點關於 y軸對稱．
又∵直線 y＝2x+1與x軸、y軸的交點分別為A（-1/2，0），B（0，1）,∴A（-1/2，0），B（0，1）關於y軸的對稱點為A′（1/2，0），B′（0，1）． ∴直線 y=kx+b必經過點A′（1/2，0），B′（0，1）． 把 A′（1/2，0），B′（0，1）代入y=kx+b中得 ∴1/2k+b=0, b=1 ∴k＝-2，b＝1．
5.分析：由於兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經過這兩點的函數表達式，再把第三個點的坐標代入表達式中，若成立，說明第三點在此直線上；若不成立，說明不在此直線上．解：設過A，B兩點的直線的表達式為y=kx+b．
由題意可知，3k+b=1,b=-2
∴解得：k=1,b=-2
∴過A，B兩點的直線的表達式為y=x-2．
∴當 x=4時，y=4-2=2．
∴點 C（4，2）在直線y=x-2上．
∴點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上．
6.解：比較相同時間內，路程s的大小.在橫軸的正方向上任取一點,過該點作縱軸的平行線,比較該平行線與兩直線的交點的縱坐標的大小.所以.甲比乙快.
7.D 分析：由圖象可知，上坡速度為80米/分；下坡速度為200米/分；走平路速度為100米/分。原路返回，走平路需要8分鐘，上坡路需要10分鐘，下坡路需要2分鐘，一共20分鐘。
8.分析：依題意解讀圖象可知：從0—4分鐘在進水，4—15分鐘在清洗，此時，洗衣機內有水40升，15分鐘後開始放水.
解：（1）洗衣機的進水時間是4分鐘；清洗時洗衣機中的水量是40升；
（2）①排水時y與x之間的關係式為：y=40-19(x-15)即y=-19x+325 ②如果排水時間為2分鐘，則x-15=2即x=17，此時，y=40-19×2=2。 所以，排水結束時洗衣機中剩下的水量為2升.
9.解：（1）由題意，m需滿足，-2m^2+18=0且3-m≠0.
故 m=－3時，函數的圖象經過原點；
（2）由題意得：m需滿足，-2m^2+18=10
故m=2或m=-2時，函數的圖象經過點（0，－10）；
（3）由題意，m需滿足，3-m=-1;
故 m=4時，函數的圖象平行於直線y=－x；
（4）當3－m＜0時，即m＞3時，y隨x的增大而減小．
10.分析：不論k為正還是為負，都大於0，圖象應該交於x軸上方。
故選B
11.解：當P點在AB上運動時，
當P點在BC上運動時，
當P點在CD上運動是，
∴
12.解：將E（-8,0）代入y=kx+6，得:k=3/4
(2)設P點坐標為(a,b)=（x,3/4x+6） S=1/2|OA| |b|=1/2x6x(3/4x+6)=9/4x+18(-8<x<0)
(3)令9/4x+18=27/8，解得x=-13/2，
代入y=3/4x+6，算出P點縱坐標為9/8
當P點的坐標為(-13/2,9/8)時,△OPA的面積為27/8．